将函数 f(x)=ln(1-x-2x^2) 展开成x的幂级数,并指出其收敛域.

关键思路：将复合对数函数分解为两个简单对数函数之和，分别展开后合并。

1. 因式分解：将二次多项式 $1 - x - 2x^2$ 分解为 $(1+x)(1-2x)$，利用对数性质拆分原函数。
2. 幂级数展开：分别展开 $\ln(1+x)$ 和 $\ln(1-2x)$，注意变量替换和符号处理。
3. 收敛域确定：取两个展开式收敛域的交集，并验证端点收敛性。

步骤1：因式分解与函数拆分

将 $1 - x - 2x^2$ 分解为：
$1 - x - 2x^2 = (1 + x)(1 - 2x).$
因此，原函数可拆分为：
$f(x) = \ln(1+x) + \ln(1-2x).$

步骤2：展开各对数函数

1. $\ln(1+x)$ 的展开：
   $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, \quad |x| < 1.$

2. $\ln(1-2x)$ 的展开：
   令 $u = -2x$，代入 $\ln(1+u)$ 展开式：
   $\ln(1-2x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (-2x)^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n}, \quad |x| < \frac{1}{2}.$

步骤3：合并展开式

将两展开式相加：
$\begin{aligned}f(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n} \\&= \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n+1} - 2^n}{n} \right) x^n.\end{aligned}$

步骤4：确定收敛域

1. $\ln(1+x)$ 的收敛域：$|x| < 1$。
2. $\ln(1-2x)$ 的收敛域：$|x| < \frac{1}{2}$。
3. 交集：$|x| < \frac{1}{2}$。
4. 端点验证：
   • 当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，$\ln(1+x)$ 和 $\ln(1-2x)$ 的展开式均收敛。
   • 当 $x = \frac{1}{2}$ 时，原函数无定义。
     最终收敛域：$-\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2}$。