题目

3. oint_(Gamma)(y^2-z^2)dx+(2z^2-x^2)dy+(3x^2-y^2)dz，其中Gamma为平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看取逆时针方向.

3. $\oint_{\Gamma}(y^{2}-z^{2})dx+(2z^{2}-x^{2})dy+(3x^{2}-y^{2})dz$，其中$\Gamma$为平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看取逆时针方向.

题目解答

答案

定义向量场 $\mathbf{F} = (y^2 - z^2, 2z^2 - x^2, 3x^2 - y^2)$，计算旋度得： \[ \nabla \times \mathbf{F} = (-2y - 4z, -6x - 2z, -2x - 2y) \] 平面 $x + y + z = 2$ 的单位法向量为 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$。由斯托克斯公式： \[ \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS \] 代入并化简得： \[ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = -\frac{2}{\sqrt{3}}(3x + y + 3z) \] 利用对称性，积分化为： \[ \iint_{D_{xy}} 2(y - 6) \, dxdy = -24 \] **答案：** $\boxed{-24}$

解析

本题考查斯托克斯公式的应用。解题思路是先根据给定的曲线积分确定向量场，计算该向量场的旋度，再找出曲线所在平面的单位法向量，利用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分，最后通过化简和利用对称性计算曲面积分。

  1. 确定向量场并计算旋度：
    • 已知曲线积分$\oint_{\Gamma}(y^{2}-z^{2})dx+(2z^{2}-x^{2})dy+(3x^{2}-y^{2})dz$，定义向量场$\mathbf{F} = (y^2 - z^2, 2z^2 - x^2, 3x^2 - y^2)$。
    • 根据旋度的计算公式\(\nabla \times \mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ y^2 - z^2 & 2z^2 - x^2 & 3x^2 - y^2 \end{vmatrix}\)，其中$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$分别为$x$，$y$，$z$轴正方向的单位向量。
    • 计算可得：
      $\mathbf{i}\left(\frac{\partial(3x^{2}-y^{2})}{\partial y}-\frac{\partial(2z^{2}-x^{2})}{\partial z}\right)-\mathbf{j}\left(\frac{\partial(3x^{2}-y^{2})}{\partial x}-\frac{\partial(y^{2}-z^{2})}{\partial z}\right)+\mathbf{k}\left(\frac{\partial(2z^{2}-x^{2})}{\partial x}-\frac{\partial(y^{2}-z^{2})}{\partial y}\right)$
      $=\mathbf{i}(-2y - 4z)-\mathbf{j}(6x + 2z)+\mathbf{k}(-2x - 2y)= (-2y - 4z, -6x - 2z, -2x - 2y)$
  2. 求平面的单位法向量：
    • 对于平面$x + y + z = 2$，其法向量为$\mathbf{N}=(1,1,1)$。
    • 单位法向量$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{N}}{\vert\mathbf{N}\vert}$，其中$\vert\mathbf{N}\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$，所以$\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$。
  3. 利用斯托克斯公式转化积分：
    • 由斯托克斯公式$\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中$\Sigma$为以$\Gamma$为边界的平面$x + y + z = 2$上的部分。
    • 计算$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}$：
      $\begin{align*}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}&=(-2y - 4z, -6x - 2z, -2x - 2y)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\\&=\frac{1}{\sqrt{3}}(-2y - 4z - 6x - 2z - 2x - 2y)\\&=-\frac{2}{\sqrt{3}}(3x + y + 3z)\end{align*}$
    • 因为$z = 2 - x - y$，代入上式可得：
      $\begin{align*}-\frac{2}{\sqrt{3}}(3x + y + 3(2 - x - y))&=-\frac{2}{\sqrt{3}}(3x + y + 6 - 3x - 3y)\\&=-\frac{2}{\sqrt{3}}(6 - 2y)\\&=\frac{4}{\sqrt{3}}(y - 3)\end{align*}$
    • 又因为$dS=\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$，对于$z = 2 - x - y$，$\frac{\partial z}{\partial x}=-1$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-1$，所以$dS=\sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy$。
    • 则$\iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS=\iint_{D_{xy}}\frac{4}{\sqrt{3}}(y - 3)\cdot\sqrt{3}dxdy=\iint_{D_{xy}}4(y - 3)dxdy$，其中$D_{xy}$是$\vert x\vert + \vert y\vert = 1$在$xOy$平面上所围成的区域。
  4. 利用对称性计算积分：
    • 由于积分区域$D_{xy}$关于$x$轴对称，被积函数$4y$是关于$y$的奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分为$0$，可得$\iint_{D_{xy}}4y dxdy = 0$。
    • 而$\iint_{D_{xy}}4\times(-3)dxdy=-12\iint_{D_{xy}}dxdy$，$\iint_{D_{xy}}dxdy$表示区域$D_{xy}$的面积，$\vert x\vert + \vert y\vert = 1$所围成的区域是一个边长为$\sqrt{2}$的正方形，其面积为$2$。
    • 所以$-12\iint_{D_{xy}}dxdy=-12\times2=-24$。