2.求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 . 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.

步骤 1：确定曲线在点(1,1,1)处的切线方向
曲线由两个方程定义，我们可以通过计算这两个方程在点(1,1,1)处的梯度来确定切线方向。梯度是函数在某一点处变化率最大的方向，对于曲面 $f(x,y,z)=0$，其梯度 $\nabla f$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处给出该点处的法向量。因此，两个曲面在点(1,1,1)处的梯度的叉积将给出切线方向。
步骤 2：计算梯度
对于第一个方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-3x=0$，其梯度为 $\nabla f_1 = (2x-3, 2y, 2z)$。在点(1,1,1)处，$\nabla f_1 = (-1, 2, 2)$。
对于第二个方程 $2x-3y+5z-4=0$，其梯度为 $\nabla f_2 = (2, -3, 5)$。在点(1,1,1)处，$\nabla f_2 = (2, -3, 5)$。
步骤 3：计算切线方向
切线方向为 $\nabla f_1 \times \nabla f_2$，即 $(-1, 2, 2) \times (2, -3, 5)$。计算叉积得到 $(16, 9, -1)$。
步骤 4：确定切线方程
切线方程为 $\dfrac {x-1}{16}=\dfrac {y-1}{9}=\dfrac {z-1}{-1}$。
步骤 5：确定法平面方程
法平面方程为 $(x-1, y-1, z-1) \cdot (16, 9, -1) = 0$，即 $16(x-1) + 9(y-1) - (z-1) = 0$，化简得到 $16x + 9y - z - 24 = 0$。