题目

3元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为2，已知α1，α2，α3是它的3个解向量，其中α1=(1，1，1)T，α2+α3=(2，4，6)T，则该方程组的通解是______．

3元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为2，已知α₁，α₂，α₃是它的3个解向量，其中α₁=(1，1，1)^T，α₂+α₃=(2，4，6)^T，则该方程组的通解是______．

题目解答

答案

因为α₁，α₂，α₃是Ax=b的3个解向量，且A的秩为2，所以Ax=0的基础解系中解的个数为3-2=1．
利用线性方程组解的性质可得，
A((α₂+α₃)-2α₁)=Aα₂+Aα₃-2Aα₁=b+b-2b=0，
故(α₂+α₃)-2α₁=(0，2，4)^T为Ax=0的一个通解．
利用非齐次线性方程组的通解公式可得，
Ax=b的通解为：(1，1，1)^T+k(0，2，4)^T，其中k为任意常数．
故答案为：(1，1，1)^T+k(0，2，4)^T，k为任意常数．

解析

步骤 1：确定齐次方程组的基础解系
由于非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为2，而方程组的未知数个数为3，因此齐次方程组Ax=0的基础解系中解的个数为3-2=1。

步骤 2：利用解的性质求齐次方程组的解
根据线性方程组解的性质，若α_1，α_2，α_3是Ax=b的解，则(α_2+α_3)-2α_1是Ax=0的解。将已知的解代入，得到(α_2+α_3)-2α_1=(2，4，6)^{T}-2(1，1，1)^{T}=(0，2，4)^{T}，即(0，2，4)^{T}是Ax=0的一个解。

步骤 3：确定非齐次方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解由其一个特解加上齐次方程组Ax=0的通解构成。已知α_1=(1，1，1)^{T}是Ax=b的一个特解，而(0，2，4)^{T}是Ax=0的一个解，因此Ax=b的通解为(1，1，1)^{T}+k(0，2，4)^{T}，其中k为任意常数。