函数 f(x)=} 3x+1, & xgeq0 x^2+2, & x<0 ，则下列说法正确的是A. f(x) 在 (-infty,+infty) 上连续B. lim_(x to 0) f(x) 不存在C. x=0 是 f(x) 的可去间断点D. x=0 是的 f(x) 跳跃间断点
函数 $f(x)=\begin{cases} 3x+1, & x\geq0 \\ x^2+2, & x<0 \end{cases}$，则下列说法正确的是 A. $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续 B. $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在 C. $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点 D. $x=0$ 是的 $f(x)$ 跳跃间断点
题目解答
答案
我们来分析这个分段函数：
函数定义如下：
$f(x) = \begin{cases} 3x + 1, & x \geq 0 \\x^2 + 2, & x < 0 \end{cases}$
第一步：分析函数在 $ x = 0 $ 处的连续性
要判断函数在 $ x = 0 $ 是否连续，需要检查以下三点：
- $ f(0) $ 是否存在
- $ \lim_{x \to 0} f(x) $ 是否存在
- $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $
第二步：计算 $ f(0) $
因为 $ x = 0 $ 属于 $ x \geq 0 $ 的情况，所以使用第一个表达式：
$f(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$
第三步：计算左极限和右极限
左极限（从负方向趋近于 0）：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2$
右极限（从正方向趋近于 0）：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x + 1) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$
第四步：判断极限是否存在
因为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 \ne 1 = \lim_{x \to 0^+} f(x)$
所以极限 $ \lim_{x \to 0} f(x) $ 不存在。
第五步：判断函数在 $ x = 0 $ 是否连续
由于极限不存在，所以函数在 $ x = 0 $ 不连续。
第六步：判断间断点类型
因为左极限和右极限都存在，但不相等，所以 $ x = 0 $ 是一个跳跃间断点。
第七步：分析选项
A. $ f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上连续
❌ 错误。在 $ x = 0 $ 处不连续。
B. $ \lim_{x \to 0} f(x) $ 不存在
✅ 正确。左右极限不相等，极限不存在。
C. $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的可去间断点
❌ 错误。可去间断点要求极限存在但不等于函数值，这里极限根本不存在。
D. $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的跳跃间断点
✅ 正确。左右极限都存在但不相等。
最终答案：
正确选项是：
$\boxed{\text{B 和 D}}$
解析
本题考查分段函数在分段点处的连续性、极限极限存在性以及间断点类型的判断。解题思路是先分别计算函数在分段点$x = 0$处的函数值、左极限和右极限，再根据极限极限存在的条件判断极限是否存在，进而判断函数在该点的连续性，最后根据间断点的类型。
- 计算$f(0)$的值：
因为$x = 0$满足$1) \(x\geq0$的条件，所以将$x = 0$代入$f(x)=3x + + 1$可得：
$f(0)=3\times0 + 1=1$ - 计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$极限：
当$x\to0^-$时，$x<0$，此时$f(x)=x^2 + 2$，则：
$\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2)$
根据极限的四则运算法则$\lim_{x \to a}(u(x)+v(x))=\lim_{x \to a}u(x)+\lim_{x \to a}v(x)$可得：
$\lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2)=\lim_{x \to 0^-}x^2+\lim_{x \to 0^-}2$
因为$\lim_{x \to 0^-}x^2 = 0^2 = 0$，$\lim_{x \to 0^-}2 = 2$，所以$\lim_{x \to 0^-} f(x)=0 + 2 = 2$。 - 计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$：
当$2) \(x\to0^+$时$x\geq0$，此时$f(x)=3x + 1$，则：
$\lim_{x \to 0^+} f(x)=\lim_{x \to 0^+} (3x + 1$
根据极限四则运算法则$\lim_{x \to a}(u(x)+v(x))=\lim_{x \to a}u(x)+\lim_{x \to a}v(x)$可得：
$\lim_{x \to 0^+} (3x + 1)=\lim_{x \to 0^+}3x+\lim_{x \to 0^+}1$
因为$\lim_{x \to 0^+}3x = 3\times0 = 0$，$\(3$ $\lim_{x \to 0^+}1 = 1$，所以$\lim_{x \to 0^+} f(x)=0 + 1 = 1$。 - 判断$\lim_{x \to 0} f(x)$是否存在：
根据函数极限存在的充要条件：$\lim_{x \to x_0} f(x)$存在的充要条件是$\lim_{x \to x_0^-} f(x)=\lim_{x \to x_0^+} f(x)$。
由于$\lim_{x \to 0^-} f(x)=2$，$\lim_{x \to 0^+} f(x)=1$，即$\lim_{x \to 0^-} f(x)\neq\lim_{x \to 0^+} f(x)$，所以$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在。 - 判断函数在$x = 0$处的连续性：
函数在某点连续的充要条件是$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$，因为$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在，所以函数$f(x)$在$x = 0$处不连续。 - 判断间断点类型：
- 可去间断点：函数在该点极限存在，但极限值不等于函数值。
- 跳跃间断点：函数在该点左、右极限都存在，但不相等。
由于$\lim_{x \to 0^-} f(x)=2$，$\lim_{x \to 0^+} f(x)=1$，左右极限都存在但不相等，所以$x = 0$是跳跃间断点。
- 分析选项：
- 选项A：因为函数在$x = 0$处不连续，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上不连续，A错误。
- 选项B：由前面计算可知$\lim_{x \to 0} f(x)$不存在，B正确。
- 选项C：可去间断点要求极限存在，而这里极限不存在，C错误。
- 选项D：因为左右极限都存在但不相等，所以$x = 0$是跳跃间断点，D正确。