设有5个独立同类型的充电桩，在任一时刻t每个充电桩被使用的概率为0.1，则在同一时刻：(1) 恰有2个充电桩被使用的概率是多少？(2) 至多有3个充电桩被使用的概率是多少？

我们来逐步分析并解答这个概率问题。

题目分析

有 5 个独立同类型的充电桩，每个在任一时刻被使用的概率为 0.1。

设随机变量 $ X $ 表示“在同一时刻被使用的充电桩数量”。

由于每个充电桩的使用是独立的，且每个只有“被使用”（成功）或“未被使用”（失败）两种状态，这符合二项分布的条件。

因此，
$X \sim B(n=5, p=0.1)$

二项分布的概率质量函数为：
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

(1) 恰有 2 个充电桩被使用的概率是多少？

即求 $ P(X = 2) $

代入公式：
$P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.1)^2 (0.9)^3$

计算各部分：

• $ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $
• $ (0.1)^2 = 0.01 $
• $ (0.9)^3 = 0.729 $

所以：
$P(X = 2) = 10 \times 0.01 \times 0.729 = 0.0729$

✅ 答案：(1) 恰有 2 个被使用的概率是 $ \boxed{0.0729} $

(2) 至多有 3 个充电桩被使用的概率是多少？

即求 $ P(X \leq 3) $

由于 $ X $ 的取值范围是 0 到 5，
所以：
$P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$

我们逐项计算：

计算 $ P(X=0) $

$P(X=0) = \binom{5}{0} (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times 0.9^5$

$ 0.9^5 = 0.59049 $

所以：
$P(X=0) = 0.59049$

计算 $ P(X=1) $

$P(X=1) = \binom{5}{1} (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561$

$ 0.9^4 = 0.6561 $

$= 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$

计算 $ P(X=2) $

前面已算出：
$P(X=2) = 0.0729$

计算 $ P(X=3) $

$P(X=3) = \binom{5}{3} (0.1)^3 (0.9)^2$

• $ \binom{5}{3} = 10 $
• $ (0.1)^3 = 0.001 $
• $ (0.9)^2 = 0.81 $

$P(X=3) = 10 \times 0.001 \times 0.81 = 0.0081$

求和：

$P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081$

先加前两项：

• $ 0.59049 + 0.32805 = 0.91854 $
  再加第三项：
• $ 0.91854 + 0.0729 = 0.99144 $
  再加第四项：
• $ 0.99144 + 0.0081 = 0.99954 $

✅ 答案：(2) 至多有 3 个被使用的概率是 $ \boxed{0.99954} $

最终答案：

(1) 恰有 2 个被使用的概率是： $ \boxed{0.0729} $
(2) 至多有 3 个被使用的概率是： $ \boxed{0.99954} $