5.证明下列不等式:-|||-(1)当 gt 0 时, https:/img.zuoyebang.cc/zyb_c72277f43abcb03959fae08255ce562a.jpg+dfrac (1)(2)xgt sqrt (1+x) ;

考查要点：本题主要考查利用函数单调性证明不等式的方法，需要学生掌握构造辅助函数、求导分析单调性的基本思路。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式两边的表达式相减，得到一个新函数$f(t) = 1 + \dfrac{1}{2}t - \sqrt{1+t}$。
2. 分析函数单调性：通过求导判断$f(t)$在区间$[0, x]$上的单调性。
3. 利用初始值比较大小：若函数单调递增，则当$x > 0$时，$f(x) > f(0)$，从而证明原不等式。

破题关键点：

• 导数的符号决定单调性：通过计算$f'(t)$并分析其正负，确定$f(t)$的单调性。
• 初始值的计算：$f(0) = 0$，结合单调性即可推出$f(x) > 0$。

步骤1：构造辅助函数
定义函数$f(t) = 1 + \dfrac{1}{2}t - \sqrt{1+t}$，其中$t \in [0, x]$。原不等式等价于证明$f(x) > 0$。

步骤2：求导分析单调性
计算$f(t)$的导数：
$f'(t) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2\sqrt{1+t}} = \dfrac{\sqrt{1+t} - 1}{2\sqrt{1+t}}.$
当$t > 0$时，$\sqrt{1+t} > 1$，因此分子$\sqrt{1+t} - 1 > 0$，分母$2\sqrt{1+t} > 0$，故$f'(t) > 0$。
结论：$f(t)$在区间$[0, x]$上单调递增。

步骤3：利用单调性比较大小
当$x > 0$时，由单调性可知：
$f(x) > f(0) = 1 + 0 - \sqrt{1+0} = 0.$
因此，$1 + \dfrac{1}{2}x - \sqrt{1+x} > 0$，即原不等式成立。