讨论下列函数在 x=0 处的连续性与可导性:-|||-(1) =|sin x|;-|||-(2) y= { , xneq 0 0, x =0 .

连续性的判断依据是函数在某点的极限值等于函数值；可导性则要求左右导数存在且相等。对于含绝对值或分段函数，需特别注意分段点处的左右极限和导数。

1. 第（1）题：函数$y=|\sin x|$在$x=0$处的连续性可通过直接计算极限验证。可导性需分别计算左、右导数，若不相等则不可导。
2. 第（2）题：分段函数在$x=0$处的连续性需验证极限是否为$0$。可导性需通过导数定义计算，注意$x^2\sin\frac{1}{x}$的有界性与$x$的趋近关系。

第（1）题：$y=|\sin x|$

连续性分析

计算$\lim\limits_{x \to 0} |\sin x|$：
$\lim_{x \to 0} |\sin x| = |\sin 0| = 0 = f(0)$
结论：函数在$x=0$处连续。

可导性分析

计算左、右导数：

• 左导数（$x \to 0^-$）：当$x < 0$时，$\sin x < 0$，故$|\sin x| = -\sin x$，导数为：
  $f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$
• 右导数（$x \to 0^+$）：当$x > 0$时，$\sin x > 0$，故$|\sin x| = \sin x$，导数为：
  $f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$
  结论：左右导数不相等，故函数在$x=0$处不可导。

第（2）题：分段函数$y = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

连续性分析

计算$\lim\limits_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$：
$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0 \quad (\text{因$|x^2 \sin \frac{1}{x}| \leq x^2 \to 0$})$
结论：函数在$x=0$处连续。

可导性分析

通过导数定义计算$f'(0)$：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$
结论：导数存在且为$0$，故函数在$x=0$处可导。