题目
16.int(dx)/(2+sin x).
16.$\int\frac{dx}{2+\sin x}.$
题目解答
答案
令 $t = \tan \frac{x}{2}$，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$。代入原积分得：
\[
\int \frac{dx}{2 + \sin x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2 + \frac{2t}{1+t^2}} dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1} dt.
\]
完成平方得：
\[
t^2 + t + 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.
\]
利用积分公式 $\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$，得：
\[
\int \frac{1}{\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} + C.
\]
将 $t = \tan \frac{x}{2}$ 代回，得：
\[
\boxed{\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C}.
\]
解析
步骤 1：变量替换
令 $t = \tan \frac{x}{2}$，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$。代入原积分得： \[ \int \frac{dx}{2 + \sin x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2 + \frac{2t}{1+t^2}} dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1} dt. \]
步骤 2：完成平方
完成平方得： \[ t^2 + t + 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}. \]
步骤 3：积分计算
利用积分公式 $\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$，得： \[ \int \frac{1}{\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} + C. \]
步骤 4：变量回代
将 $t = \tan \frac{x}{2}$ 代回，得： \[ \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C. \]
令 $t = \tan \frac{x}{2}$，则 $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$，$dx = \frac{2}{1+t^2} dt$。代入原积分得： \[ \int \frac{dx}{2 + \sin x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2 + \frac{2t}{1+t^2}} dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1} dt. \]
步骤 2：完成平方
完成平方得： \[ t^2 + t + 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}. \]
步骤 3：积分计算
利用积分公式 $\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \arctan \frac{u}{a} + C$，得： \[ \int \frac{1}{\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} + C. \]
步骤 4：变量回代
将 $t = \tan \frac{x}{2}$ 代回，得： \[ \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C. \]