⑥ 设A= 2 -3 1 1 -2 a -3 0 0 1 有三个线性无关的特征向量,则 a= __

步骤 1：计算矩阵A的特征多项式
为了找到矩阵A的特征值，我们需要计算矩阵A的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵 $\lambda E - A$ 的行列式得到的，其中E是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。对于给定的矩阵A，我们有：
$$
\lambda E - A = \left (\begin{matrix} \lambda - 2& 3& -1\\ -1& \lambda + 2& 3-a\\ 0& 0& \lambda - 1\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：计算行列式
计算上述矩阵的行列式，我们得到：
$$
|\lambda E - A| = \left |\begin{matrix} \lambda - 2& 3& -1\\ -1& \lambda + 2& 3-a\\ 0& 0& \lambda - 1\end{matrix} | \right. = (\lambda + 1)(\lambda - 1)^2
$$
步骤 3：求解特征值
根据特征多项式，我们得到特征值 $\lambda_1 = -1$ 和 $\lambda_2 = \lambda_3 = 1$。
步骤 4：确定矩阵A的秩
由于矩阵A有三个线性无关的特征向量，这意味着矩阵A的秩为1。因此，我们需要计算矩阵E-A的秩，其中E是单位矩阵。矩阵E-A为：
$$
E - A = \left (\begin{matrix} -1& 3& -1\\ -1& 3& 3-a\\ 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 5：求解a的值
为了使矩阵E-A的秩为1，我们需要确保矩阵E-A的第二行和第三行线性相关。这意味着第二行的元素必须是第三行元素的倍数。因此，我们有：
$$
-1 = 0 \cdot k, \quad 3 = 0 \cdot k, \quad 3 - a = 0 \cdot k
$$
解得 $a = 4$。