题目
求原点到曲线^2+(y)^2=1, x+y+z=1的最短距离。
求原点到曲线
的最短距离。
题目解答
答案
由题意可知，
根据本题的信息，
我们可以知道，
要求原点到曲线的最短距离，
∴即有
设原点到直线
的距离为
,
则
又圆心到直线的距离为
∴原点到曲线的最短距离
解析
步骤 1：确定原点到直线的距离
原点到直线x+y+z=1的距离可以通过点到直线的距离公式计算。点到直线的距离公式为：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$，其中$(x_0, y_0, z_0)$是点的坐标，$Ax + By + Cz + D = 0$是直线的方程。对于原点(0,0,0)和直线x+y+z=1，我们有$A=1, B=1, C=1, D=-1$，因此$d = \frac{|1*0 + 1*0 + 1*0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
步骤 2：确定圆心到直线的距离
圆心到直线的距离同样使用点到直线的距离公式。对于圆${x}^{2}+{y}^{2}=1$，圆心为(0,0,0)，因此圆心到直线的距离与原点到直线的距离相同，即$\frac{1}{\sqrt{3}}$。
步骤 3：确定最短距离
由于圆心到直线的距离小于原点到直线的距离，因此原点到曲线${x}^{2}+{y}^{2}=1$ x+y+z=1的最短距离就是圆心到直线的距离，即$\frac{1}{\sqrt{3}}$。
原点到直线x+y+z=1的距离可以通过点到直线的距离公式计算。点到直线的距离公式为：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$，其中$(x_0, y_0, z_0)$是点的坐标，$Ax + By + Cz + D = 0$是直线的方程。对于原点(0,0,0)和直线x+y+z=1，我们有$A=1, B=1, C=1, D=-1$，因此$d = \frac{|1*0 + 1*0 + 1*0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
步骤 2：确定圆心到直线的距离
圆心到直线的距离同样使用点到直线的距离公式。对于圆${x}^{2}+{y}^{2}=1$，圆心为(0,0,0)，因此圆心到直线的距离与原点到直线的距离相同，即$\frac{1}{\sqrt{3}}$。
步骤 3：确定最短距离
由于圆心到直线的距离小于原点到直线的距离，因此原点到曲线${x}^{2}+{y}^{2}=1$ x+y+z=1的最短距离就是圆心到直线的距离，即$\frac{1}{\sqrt{3}}$。