2.双纽线(x^2+y^2)^2=x^2-y^2所围成的区域面积可用定积分表示为（）A. 2int_(0)^(pi)/(4)cos2theta dtheta.B. 4int_(0)^(pi)/(4)cos2theta dtheta.C. 2int_(0)^(pi)/(4)sqrt(cos2theta)dtheta.D. (1)/(2)int_(0)^(pi)/(4)(cos2theta)^2dtheta.

考查要点：本题主要考查极坐标方程下面积的计算，以及利用对称性简化积分的能力。

解题核心思路：

1. 极坐标转换：将双纽线的笛卡尔方程转换为极坐标方程，简化积分表达式。
2. 对称性分析：利用图形关于坐标轴的对称性，计算第一象限部分面积后整体放大。
3. 积分公式应用：根据极坐标面积公式，结合对称性确定积分限和倍数。

破题关键点：

• 极坐标方程推导：通过代入$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，将原方程化简为$r^2 = \cos 2\theta$。
• 积分限确定：由$\cos 2\theta \geq 0$得$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$，但利用对称性只需计算$\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$。
• 面积倍数关系：第一象限面积为$\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2\theta \, d\theta$，总面积需乘以4。

极坐标方程转换

将原方程$(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2$代入极坐标公式：
$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$
得：
$(r^2)^2 = r^2\cos 2\theta \implies r^2 = \cos 2\theta$

对称性分析

双纽线关于$x$轴和$y$轴对称，因此只需计算第一象限部分面积$S_1$，再乘以4得总面积$S$。

积分计算

第一象限面积为：
$S_1 = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} r^2 \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2\theta \, d\theta$
总面积为：
$S = 4S_1 = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2\theta \, d\theta$