真题4 (2017、2016.经管)如果函数f(x)的定义域是 [-(1)/(3),3], 则 f((1)/(x)) 的定义域是_.A. [-3,(1)/(3)]B. [-3,0) cup(0,(1)/(3)]C. (-infty,-3] cup[(1)/(3),+infty)D. (-infty,-3] cup(0,(1)/(3)]

考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，特别是复合函数定义域的确定方法。关键在于理解原函数定义域对复合函数参数的限制，并正确解分式不等式。

解题核心思路：

1. 明确原函数定义域：已知$f(x)$的定义域为$\left[-\frac{1}{3}, 3\right]$，即$\frac{1}{x}$必须满足$-\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x} \leq 3$。
2. 分情况讨论：根据$x$的正负，分别解不等式，注意分式不等式的变形规则。
3. 求交集：将解得的$x$范围合并，得到最终定义域。

破题关键点：

• 分式不等式的解法：注意$x$的正负对不等式方向的影响。
• 排除$x=0$：分母不能为零，需单独排除。

步骤1：建立不等式
由$f(x)$的定义域$\left[-\frac{1}{3}, 3\right]$，得：
$-\frac{1}{3} \leq \frac{1}{x} \leq 3.$

步骤2：分情况讨论

• 当$x > 0$时：

  • $\frac{1}{x} \geq -\frac{1}{3}$恒成立（正数≥负数）。
  • 解$\frac{1}{x} \leq 3$，得$x \geq \frac{1}{3}$。
  • 解集：$x \in \left[\frac{1}{3}, +\infty\right)$。

• 当$x < 0$时：

  • $\frac{1}{x} \leq 3$恒成立（负数≤正数）。
  • 解$\frac{1}{x} \geq -\frac{1}{3}$，两边乘以负数$x$，不等号方向改变：
    $1 \leq -\frac{x}{3} \implies x \leq -3.$
  • 解集：$x \in (-\infty, -3]$。

步骤3：合并解集
综合$x > 0$和$x < 0$的解集，得：
$x \in (-\infty, -3] \cup \left[\frac{1}{3}, +\infty\right).$