21. int ((arcsin x))^2dx.

考查要点：本题主要考查分部积分法在处理含有反三角函数平方的积分中的应用，以及多次分部积分的技巧。

解题核心思路：

1. 首次分部积分：将被积函数拆分为$(arcsin x)^2$和$dx$，选择$u = (arcsin x)^2$，$dv = dx$，简化积分形式。
2. 二次分部积分：对剩余的积分$\int \frac{x \cdot arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$，再次分部积分，选择$u = arcsin x$，$dv = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$，进一步简化计算。
3. 代数运算与整理：将两次分部积分的结果结合，最终得到原函数。

破题关键点：

• 两次分部积分的连续应用，尤其是第二次分部积分中对$dv$的合理选择。
• 代数替换：在计算$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$时，通过代数替换简化积分。

步骤1：首次分部积分
设$u = (arcsin x)^2$，$dv = dx$，则：
$\begin{aligned}du &= \frac{2 \cdot arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx, \\v &= x.\end{aligned}$
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
$\int (arcsin x)^2 dx = x \cdot (arcsin x)^2 - 2 \int \frac{x \cdot arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx.$

步骤2：二次分部积分
对剩余积分$\int \frac{x \cdot arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$，设：
$\begin{aligned}u &= arcsin x, \\dv &= \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx.\end{aligned}$
计算得：
$\begin{aligned}du &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx, \\v &= -\sqrt{1 - x^2}.\end{aligned}$
再次应用分部积分公式：
$\begin{aligned}\int \frac{x \cdot arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx &= -arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} + \int \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \\&= -arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} + \int 1 \, dx \\&= -arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} + x + C.\end{aligned}$

步骤3：整理结果
将二次分部积分的结果代入原式：
$\begin{aligned}\int (arcsin x)^2 dx &= x \cdot (arcsin x)^2 - 2 \left( -arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \right) + C \\&= x \cdot (arcsin x)^2 + 2 \sqrt{1 - x^2} \cdot arcsin x - 2x + C.\end{aligned}$