题目
lim _(xarrow 0),dfrac (xy)({x)^2+(y)^2}=
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限的路径依赖性
考虑极限 $\lim _{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\dfrac {xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，我们首先需要检查极限是否与路径有关。如果极限值随路径变化而变化，则极限不存在。
步骤 2：沿直线路径y=kx计算极限
假设点(x,y)沿直线y=kx趋向于点(0,0)，其中k为常数。则有：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x(kx)}{{x}^{2}+(kx)^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {kx^2}{x^2(1+k^2)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {k}{1+k^2}=\dfrac {k}{1+k^2}$$
显然，极限值随k的变化而变化，这表明极限值依赖于路径。
步骤 3：结论
由于极限值随路径变化而变化，因此该极限不存在。
考虑极限 $\lim _{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\dfrac {xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，我们首先需要检查极限是否与路径有关。如果极限值随路径变化而变化，则极限不存在。
步骤 2：沿直线路径y=kx计算极限
假设点(x,y)沿直线y=kx趋向于点(0,0)，其中k为常数。则有：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x(kx)}{{x}^{2}+(kx)^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {kx^2}{x^2(1+k^2)}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {k}{1+k^2}=\dfrac {k}{1+k^2}$$
显然，极限值随k的变化而变化，这表明极限值依赖于路径。
步骤 3：结论
由于极限值随路径变化而变化，因此该极限不存在。