曲面 z = sqrt(x^2 + y^2)，(x, y)in (x, y)mid -y leq x leq 1, 0 leq y leq 1 的面积为A. 2sqrt(2)B. sqrt(2)C. (3sqrt(2))/(2)D. 2

本题考查曲面面积的计算，解题思路是先根据曲面面积公式确定需要计算的表达式，再通过二重积分计算该表达式的值。

步骤一：明确曲面面积公式

对于曲面$z = f(x,y)$，其在$xOy$平面上的投影区域为$D$，则该曲面的面积$S$的计算公式为$S=\iint_{D}\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$。

步骤二：求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$

已知$z = \sqrt{x^2 + y^2}=(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$，根据求导公式$(u^n)^\prime=nu^{n - 1}u^\prime$对$x$求偏导数：
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
同理，对$y$求偏导数：
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}(x^2 + y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

步骤三：计算$\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}$

将$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$代入可得：
$\begin{align*}\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}&=\sqrt{1 + (\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2 + (\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})^2}\\&=\sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}}\\&=\sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2}}\\&=\sqrt{2}\end{align*}$

步骤四：确定积分区域$D$并计算二重积分

已知投影区域$D=\{ (x, y)\mid -y \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$，则曲面面积$S$为：
$\begin{align*}S&=\iint_{D}\sqrt{2}dxdy\\&=\sqrt{2}\int_{0}^{1}dy\int_{-y}^{1}dx\\&=\sqrt{2}\int_{0}^{1}(1 - (-y))dy\\&=\sqrt{2}\int_{0}^{1}(1 + y)dy\\&=\sqrt{2}(y + \frac{1}{2}y^2)\big|_{0}^{1}\\&=\sqrt{2}(1 + \frac{1}{2}\times 1^2 - 0 - 0)\\&=\frac{3\sqrt{2}}{2}\end{align*}$