求下列齐次线性方程组的一个基础解系: ) 2(x)_(1)+(x)_(2)-2(x)_(3)+3(x)_(4)=0 3(x)_(1)+2(x)_(2)-(x)_(3)+2(x)_(4)=0 (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)- .

步骤 1：写出方程组的系数矩阵
给定的齐次线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\
2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 0 \\
3x_1 + 4x_2 + 5x_3 = 0
\end{cases}
$$
其系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：对系数矩阵进行初等行变换
对矩阵$A$进行初等行变换，化为阶梯形矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & -2 \\
0 & -2 & -4
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：写出化简后的方程组
根据化简后的矩阵，写出对应的方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\
x_2 + 2x_3 = 0
\end{cases}
$$
步骤 4：求解方程组
从方程组中，我们可以看出$x_3$是自由变量，设$x_3 = t$，则$x_2 = -2t$，$x_1 = -2x_2 - 3x_3 = 4t - 3t = t$。因此，方程组的解可以表示为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
t
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix}
$$
步骤 5：确定基础解系
根据上述解的形式，基础解系为：
$$
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix}
$$