某个小型机场只能停靠和起降一架飞机，已知某日8点至11点的3个小时内会有两架飞机随机到达，如果飞机停留的时间分别是30分钟和40分钟，试求一架飞机需要在空中盘旋的概率.

步骤 1：定义变量
设第一架飞机到达的时间为x，第二架飞机到达的时间为y，其中x和y的取值范围为[0, 3]，表示从8点到11点的3个小时内的时间，以小时为单位。

步骤 2：确定没有飞机需要在空中盘旋的条件
没有飞机需要在空中盘旋的条件为：两架飞机的停留时间不重叠。即第一架飞机停留的时间段为[x, x+0.5]，第二架飞机停留的时间段为[y, y+2/3]。要使两架飞机的停留时间不重叠，需要满足以下条件：
1. 第一架飞机先到达，第二架飞机后到达，且第二架飞机到达时第一架飞机已经离开，即y > x + 0.5。
2. 第二架飞机先到达，第一架飞机后到达，且第一架飞机到达时第二架飞机已经离开，即x > y + 2/3。

步骤 3：计算没有飞机需要在空中盘旋的概率
将上述条件转化为不等式，得到没有飞机需要在空中盘旋的区域为：
$0\leqslant x\leqslant 3$,
$0\leqslant y\leqslant 3$,
$y > x + 0.5$,
$x > y + 2/3$.
在坐标系中画出上述不等式表示的区域，计算该区域的面积，再除以整个区域的面积（即3×3=9），得到没有飞机需要在空中盘旋的概率。

步骤 4：计算一架飞机需要在空中盘旋的概率
一架飞机需要在空中盘旋的概率为1减去没有飞机需要在空中盘旋的概率。