题目
(11) (int )_(-1)^1dfrac (xdx)(sqrt {5-4x)};
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
设 $\sqrt{5-4x} = t$，则 $x = \dfrac{5-t^2}{4}$，且 $dx = -\dfrac{t}{2}dt$。
步骤 2：确定积分区间
当 $x = -1$ 时，$t = 3$；当 $x = 1$ 时，$t = 1$。因此，积分区间变为 $t$ 从 $3$ 到 $1$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到
\[
\int_{3}^{1} \dfrac{\dfrac{5-t^2}{4}}{t} \cdot \left(-\dfrac{t}{2}\right) dt = \dfrac{1}{8} \int_{3}^{1} (t^2 - 5) dt
\]
步骤 4：计算定积分
\[
\dfrac{1}{8} \int_{3}^{1} (t^2 - 5) dt = \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{1}{3}t^3 - 5t \right]_{3}^{1} = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{3} - 5 - \left( \dfrac{27}{3} - 15 \right) \right) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{3} - 5 - 9 + 15 \right) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{3} + 1 \right) = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{6}
\]
设 $\sqrt{5-4x} = t$，则 $x = \dfrac{5-t^2}{4}$，且 $dx = -\dfrac{t}{2}dt$。
步骤 2：确定积分区间
当 $x = -1$ 时，$t = 3$；当 $x = 1$ 时，$t = 1$。因此，积分区间变为 $t$ 从 $3$ 到 $1$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $x$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到
\[
\int_{3}^{1} \dfrac{\dfrac{5-t^2}{4}}{t} \cdot \left(-\dfrac{t}{2}\right) dt = \dfrac{1}{8} \int_{3}^{1} (t^2 - 5) dt
\]
步骤 4：计算定积分
\[
\dfrac{1}{8} \int_{3}^{1} (t^2 - 5) dt = \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{1}{3}t^3 - 5t \right]_{3}^{1} = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{3} - 5 - \left( \dfrac{27}{3} - 15 \right) \right) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{3} - 5 - 9 + 15 \right) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{3} + 1 \right) = \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{6}
\]