题目
【】2.设曲线L：x=φ(t)，y=ψ(t)(α≤t≤β)是一连接A(α)，B(β)两点的有向光滑曲线段，其中始点为B(β)，终点为A(α)，则int_(L)f(x,y)dx=A. int_(alpha)^betaf[(varphi(t),psi(t)]dt.B. int_(beta)^alphaf[(varphi(t),psi(t)]dt.C. int_(alpha)^betaf[(varphi(t),psi(t)]varphi'(t)dt.D. int_(beta)^alphaf[(varphi(t),psi(t)]varphi'(t)dt.
【】2.设曲线L：x=φ(t)，y=ψ(t)(α≤t≤β)是一连接A(α)，B(β)两点的有向光滑曲线段，其中始点为B(β)，终点为A(α)，则$\int_{L}f(x,y)dx=$
A. $\int_{\alpha}^{\beta}f[(\varphi(t),\psi(t)]dt.$
B. $\int_{\beta}^{\alpha}f[(\varphi(t),\psi(t)]dt.$
C. $\int_{\alpha}^{\beta}f[(\varphi(t),\psi(t)]\varphi'(t)dt.$
D. $\int_{\beta}^{\alpha}f[(\varphi(t),\psi(t)]\varphi'(t)dt.$
题目解答
答案
D. $\int_{\beta}^{\alpha}f[(\varphi(t),\psi(t)]\varphi'(t)dt.$
解析
步骤 1：理解曲线L的参数方程
曲线L的参数方程为$x = \varphi(t)$，$y = \psi(t)$，其中$t$的取值范围是$\alpha \leq t \leq \beta$。这里，曲线的始点是$B(\beta)$，终点是$A(\alpha)$，即$t$从$\beta$变到$\alpha$。
步骤 2：将线积分转换为参数积分
线积分$\int_{L} f(x, y) \, dx$可以转换为参数积分。由于$x = \varphi(t)$，$dx = \varphi'(t) \, dt$，因此线积分可以写为：\[ \int_{L} f(x, y) \, dx = \int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \, \varphi'(t) \, dt. \] 这里，积分限从$\beta$到$\alpha$，因为曲线的始点是$B(\beta)$，终点是$A(\alpha)$。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，选项中只有D符合该形式，即$\int_{\beta}^{\alpha} f[(\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t) \, dt$。其他选项要么积分限错误，要么没有包含$\varphi'(t)$。
曲线L的参数方程为$x = \varphi(t)$，$y = \psi(t)$，其中$t$的取值范围是$\alpha \leq t \leq \beta$。这里，曲线的始点是$B(\beta)$，终点是$A(\alpha)$，即$t$从$\beta$变到$\alpha$。
步骤 2：将线积分转换为参数积分
线积分$\int_{L} f(x, y) \, dx$可以转换为参数积分。由于$x = \varphi(t)$，$dx = \varphi'(t) \, dt$，因此线积分可以写为：\[ \int_{L} f(x, y) \, dx = \int_{\beta}^{\alpha} f[\varphi(t), \psi(t)] \, \varphi'(t) \, dt. \] 这里，积分限从$\beta$到$\alpha$，因为曲线的始点是$B(\beta)$，终点是$A(\alpha)$。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，选项中只有D符合该形式，即$\int_{\beta}^{\alpha} f[(\varphi(t), \psi(t)] \varphi'(t) \, dt$。其他选项要么积分限错误，要么没有包含$\varphi'(t)$。