题目
设 A 是 n 阶方阵，X 是 n times 1 矩阵，则下列矩阵运算中正确的是（A. X^TAXB. XAXC. X^TAX^TD. XAX^T
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵，则下列矩阵运算中正确的是（
A. $X^TAX$
B. $XAX$
C. $X^TAX^T$
D. $XAX^T$
题目解答
答案
A. $X^TAX$
解析
步骤 1：分析选项A：$X^T AX$
$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵。$X^T A$ 的结果是 $1 \times n$ 矩阵，再乘以 $X$ 的结果是 $1 \times 1$ 矩阵，即标量，合法。
步骤 2：分析选项B：$XAX$
$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵。$XA$ 的结果是 $n \times 1$ 矩阵，无法与 $X$ 相乘，维度不匹配，不合法。
步骤 3：分析选项C：$X^T AX^T$
$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵。$X^T A$ 的结果是 $1 \times n$ 矩阵，无法与 $X^T$ 相乘，维度不匹配，不合法。
步骤 4：分析选项D：$XAX^T$
$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵。$XA$ 的结果是 $n \times 1$ 矩阵，无法与 $X^T$ 相乘，维度不匹配，不合法。
$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵。$X^T A$ 的结果是 $1 \times n$ 矩阵，再乘以 $X$ 的结果是 $1 \times 1$ 矩阵，即标量，合法。
步骤 2：分析选项B：$XAX$
$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵。$XA$ 的结果是 $n \times 1$ 矩阵，无法与 $X$ 相乘，维度不匹配，不合法。
步骤 3：分析选项C：$X^T AX^T$
$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵。$X^T A$ 的结果是 $1 \times n$ 矩阵，无法与 $X^T$ 相乘，维度不匹配，不合法。
步骤 4：分析选项D：$XAX^T$
$X$ 是 $n \times 1$ 矩阵，$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$X^T$ 是 $1 \times n$ 矩阵。$XA$ 的结果是 $n \times 1$ 矩阵，无法与 $X^T$ 相乘，维度不匹配，不合法。