题目
20.随机变量 sim P(lambda ), 则 (dfrac (1)(X+1))= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们计算随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布时，$E\left(\dfrac{1}{X+1}\right)$ 的值。泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k=0,1,2,\ldots$。
步骤 2：计算期望
期望 $E\left(\dfrac{1}{X+1}\right)$ 可以通过求和公式计算，即
$$E\left(\dfrac{1}{X+1}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1} \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
步骤 3：简化求和
将求和式简化，利用积分和求和的关系，可以将求和式转化为积分形式，或者直接利用已知的泊松分布的性质和公式。这里我们直接给出结果，即
$$E\left(\dfrac{1}{X+1}\right) = \dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}$$
题目要求我们计算随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布时，$E\left(\dfrac{1}{X+1}\right)$ 的值。泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k=0,1,2,\ldots$。
步骤 2：计算期望
期望 $E\left(\dfrac{1}{X+1}\right)$ 可以通过求和公式计算，即
$$E\left(\dfrac{1}{X+1}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k+1} \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
步骤 3：简化求和
将求和式简化，利用积分和求和的关系，可以将求和式转化为积分形式，或者直接利用已知的泊松分布的性质和公式。这里我们直接给出结果，即
$$E\left(\dfrac{1}{X+1}\right) = \dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}$$