题目

76 f(x)=arctan x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的中值ξ=____.

题目解答

计算端点值：

差商：
$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{\pi}{4}$

导数：
$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：
$\frac{1}{1 + \xi^2} = \frac{\pi}{4}$

解得：
$\xi^2 = \frac{4 - \pi}{\pi} \quad \Rightarrow \quad \xi = \sqrt{\frac{4 - \pi}{\pi}}$

答案：
$\boxed{\sqrt{\frac{4 - \pi}{\pi}}}$

本题考查拉格朗日中值定理的应用。解题解题思路是先明确拉格朗日中值定理的内容，然后根据函数$f(x)=\arctan x$求出其在区间$[0,1]$端点处的函数值，计算出差商，再求出函数的导数，最后根据拉格朗日中值定理列出等式求解中值$\xi$。

计算函数在区间端点的值：
已知$f(x)=\arctan x$，将$x = 0$代入函数可得$f(0)=\arctan 0 = 0$；将$x = 1$代入函数可得$f(1)=\arctan 1=\frac{\pi}{4}$。
计算差商：
根据差商的定义$\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$，其中$a = 0$，$b = 1$，可得$\frac{f(1)-f(0)}{1 - 0}=\frac{\frac{\pi}{4}-0}{1}=\frac{\pi}{4}$。
求函数的导数：
根据求导公式$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，可得$f^\prime(x)=\frac{1}{1 + x^2}$。
根据拉格朗日中值定理列等式并求解$\xi$：
拉格朗日中值定理指出，若函数$y = f(x)$满足在闭区间$[a,b]$上连续，开区间$(a,b)$内可导，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$。
已知$f(x)=\arctan x$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，所以存在$\xi\in(0,1)$，使得$f^\prime(\xi)=\frac{1}{1+\xi^2}=\frac{\pi}{4}$。
求解上述等式：
$\begin{align*}\frac{1}{1+\xi^2}&=\frac{\pi}{4}\\4&=\pi(1 + \xi^2)\\4&=\pi+\pi\xi^2\\\pi\xi^2&=4 - \pi\\\xi^2&=\frac{4 - \pi}{\pi}\end{align*}$
因为$\xi\in(0,1)$，所以$\xi=\sqrt{\frac{4 \ \pi)}{\pi}}$。