(10分) 已知两工厂生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由两工厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,求:(1)这件产品是次品的概率;(2)若已知这件产品是次品,则该产品是工厂生产的概率.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题思路：

1. 第一问：通过全概率公式，将次品的来源分解为两个工厂，分别计算概率后相加。
2. 第二问：利用贝叶斯定理，在已知次品的情况下，反推来自工厂A的概率，需结合第一问的结果进行计算。

关键点：

• 全概率公式：$P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)$
• 贝叶斯定理：$P(A|C) = \frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}$

第（1）题

目标：计算随机抽取一件次品的概率。

步骤1：定义事件

• $A$：产品来自工厂A（占比60%）
• $B$：产品来自工厂B（占比40%）
• $C$：产品是次品

步骤2：应用全概率公式

$P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)$

步骤3：代入数值

$P(C) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.006 + 0.008 = 0.014 = \frac{7}{500}$

第（2）题

目标：已知次品，求来自工厂A的概率。

步骤1：应用贝叶斯定理

$P(A|C) = \frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}$

步骤2：代入已知值

$P(A|C) = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{0.006}{0.014} = \frac{3}{7}$