10.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:-|||-(1) =(x)^3-5(x)^2+3x+5 ;

考查要点：本题主要考查利用二阶导数判断函数图形的凹凸区间及拐点的方法。

解题思路：

1. 求二阶导数：先求一阶导数，再求二阶导数。
2. 求二阶导数为零的点：解方程 $y''=0$，找到可能的拐点横坐标。
3. 分析二阶导数的符号变化：通过测试点判断二阶导数在临界点两侧的符号，确定凹凸区间。
4. 确定拐点：若二阶导数在临界点两侧符号改变，则该点为拐点，需计算对应的纵坐标。

关键点：

• 凹凸性与二阶导数的关系：$y''>0$ 对应凹区间，$y''<0$ 对应凸区间。
• 拐点的判定：凹凸性改变的点才是拐点。

第（1）题

求一阶导数

$y' = \frac{d}{dx}(x^3 -5x^2 +3x +5) = 3x^2 -10x +3$

求二阶导数

$y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 -10x +3) = 6x -10$

求二阶导数为零的点

令 $y''=0$，解得：
$6x -10 = 0 \implies x = \frac{5}{3}$

分析二阶导数的符号

• 当 $x < \frac{5}{3}$ 时，取测试点 $x=0$，代入 $y''$：
  $y''(0) = 6 \cdot 0 -10 = -10 < 0$
  因此，曲线在区间 $(-\infty, \frac{5}{3}]$ 上是凸的。

• 当 $x > \frac{5}{3}$ 时，取测试点 $x=2$，代入 $y''$：
  $y''(2) = 6 \cdot 2 -10 = 2 > 0$
  因此，曲线在区间 $[\frac{5}{3}, +\infty)$ 上是凹的。

确定拐点

由于二阶导数在 $x=\frac{5}{3}$ 处由负变正，凹凸性改变，故该点为拐点。计算对应的纵坐标：
$y\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 -5\left(\frac{5}{3}\right)^2 +3\left(\frac{5}{3}\right) +5 = \frac{20}{27}$
因此，拐点为 $\left(\frac{5}{3}, \frac{20}{27}\right)$。