设 C: |z-1|=1,则积分 int_(C) (dz)/((z-1)^3)(z+1)^(3) = ( ).A. (3)/(4)pi iB. -(3)/(4)pi iC. (3)/(8)pi iD. -(3)/(8)pi i

步骤 1：确定积分路径和被积函数的极点
给定的积分路径是圆周 $C: |z-1|=1$，被积函数是 $f(z) = \frac{1}{(z-1)^3(z+1)^3}$。函数 $f(z)$ 在圆周 $C$ 内仅有一个三阶极点 $z=1$。

步骤 2：应用柯西积分公式
根据柯西积分公式，对于圆周 $C$ 上的积分，我们有：
\[ \oint_{C} \frac{f(z)}{(z-1)^3} dz = \frac{2\pi i}{2!} \lim_{z \to 1} \frac{d^2}{dz^2} \left[ \frac{1}{(z+1)^3} \right] \]
其中，$f(z) = \frac{1}{(z+1)^3}$。

步骤 3：计算二阶导数
计算 $\frac{1}{(z+1)^3}$ 的二阶导数：
\[ \frac{d}{dz} \left[ \frac{1}{(z+1)^3} \right] = -\frac{3}{(z+1)^4} \]
\[ \frac{d^2}{dz^2} \left[ \frac{1}{(z+1)^3} \right] = \frac{12}{(z+1)^5} \]
代入 $z=1$，得：
\[ \lim_{z \to 1} \frac{12}{(z+1)^5} = \frac{12}{2^5} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \]

步骤 4：代入公式计算积分值
代入柯西积分公式，得：
\[ \oint_{C} \frac{dz}{(z-1)^3(z+1)^3} = \frac{2\pi i}{2!} \cdot \frac{3}{8} = \pi i \cdot \frac{3}{8} = \frac{3\pi i}{8} \]