题目
[题目]在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球,弹簧-|||-被拉长 _(0)=1.2cm 而平衡。再经拉动后,该小球在竖-|||-直方向作振幅为 A=2cm 的振动,试证此振动为简谐-|||-振动;选小球在正最大位移处开始计时,写出此振-|||-动的数值表达式。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定弹簧的劲度系数
根据胡克定律，弹簧的劲度系数 $k$ 可以通过小球的重力 $mg$ 和弹簧被拉长的长度 ${l}_{0}$ 来计算。即 $k = \frac{mg}{{l}_{0}}$。
步骤 2：建立振动方程
选取平衡位置为原点，向下为正方向。当小球在位置 $x$ 处时，根据牛顿第二定律，有 $mg - k({l}_{0} + x) = m\frac{d^2x}{dt^2}$。将 $k = \frac{mg}{{l}_{0}}$ 代入，整理后得到振动方程 $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{g}{{l}_{0}}x = 0$。这表明小球的运动是简谐振动。
步骤 3：确定振动的角频率和初相位
根据振动方程，可以确定振动的角频率 $\omega = \sqrt{\frac{g}{{l}_{0}}} = 28.58 = 9.1\pi$。设振动表达式为 $x = A\cos(\omega t + \phi)$。根据题目条件，当 $t = 0$ 时，$x = A = 2 \times 10^{-2}m$，$u = 0$，解得 $\phi = 0$。
根据胡克定律，弹簧的劲度系数 $k$ 可以通过小球的重力 $mg$ 和弹簧被拉长的长度 ${l}_{0}$ 来计算。即 $k = \frac{mg}{{l}_{0}}$。
步骤 2：建立振动方程
选取平衡位置为原点，向下为正方向。当小球在位置 $x$ 处时，根据牛顿第二定律，有 $mg - k({l}_{0} + x) = m\frac{d^2x}{dt^2}$。将 $k = \frac{mg}{{l}_{0}}$ 代入，整理后得到振动方程 $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{g}{{l}_{0}}x = 0$。这表明小球的运动是简谐振动。
步骤 3：确定振动的角频率和初相位
根据振动方程，可以确定振动的角频率 $\omega = \sqrt{\frac{g}{{l}_{0}}} = 28.58 = 9.1\pi$。设振动表达式为 $x = A\cos(\omega t + \phi)$。根据题目条件，当 $t = 0$ 时，$x = A = 2 \times 10^{-2}m$，$u = 0$，解得 $\phi = 0$。