题目
10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。(1)某人随机地去挑,问他试验成功一次的概率是多少?(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)
10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。
(1)某人随机地去挑,问他试验成功一次的概率是多少?
(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次试推断他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)
题目解答
答案
(1) 在第一个问题中，从4杯甲种酒中选4杯的方法有C(4, 4) = 1种，从总的8杯酒中选4杯的方法有C(8, 4) = 70种。因此，随机挑选4杯并且全为甲种的概率是 P = 1/70 ≈ 0.0143。
(2) 对于第二个问题，我们使用二项分布。令X表示10次试验中成功的次数。X服从二项分布B(10, 1/70)，其中n=10（试验次数），p=1/70（每次试验成功的概率，我们在第一部分已经计算得到）。
我们要计算P(X >= 3)，也就是在10次试验中至少成功3次的概率。
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]
= 1 - [C(10, 0) * (1/70)^0 * (69/70)^10 + C(10, 1) * (1/70)^1 * (69/70)^9 + C(10, 2) * (1/70)^2 * (69/70)^8]
≈ 1 - [0.9484 + 0.0495 + 0.0019] ≈ 1 - 0.9998 ≈ 0.0002。
因为P(X >= 3)非常小，这意味着随机抽取在10次试验中至少成功3次的概率是非常低的。因此，我们可以推断，此人可能确实具有区分两种酒的能力。
解析
步骤 1：计算随机挑选4杯甲种酒的概率
从8杯酒中随机挑选4杯，总共有C(8, 4)种方法。其中，甲种酒有4杯，要全部挑出来，只有C(4, 4)种方法。因此，随机挑选4杯并且全为甲种酒的概率是P = C(4, 4) / C(8, 4)。
步骤 2：计算二项分布的概率
对于第二个问题，我们使用二项分布。令X表示10次试验中成功的次数。X服从二项分布B(10, 1/70)，其中n=10（试验次数），p=1/70（每次试验成功的概率，我们在第一部分已经计算得到）。我们要计算P(X >= 3)，也就是在10次试验中至少成功3次的概率。P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]。
步骤 3：计算P(X >= 3)
P(X >= 3) = 1 - [C(10, 0) * (1/70)^0 * (69/70)^10 + C(10, 1) * (1/70)^1 * (69/70)^9 + C(10, 2) * (1/70)^2 * (69/70)^8]。
从8杯酒中随机挑选4杯，总共有C(8, 4)种方法。其中，甲种酒有4杯，要全部挑出来，只有C(4, 4)种方法。因此，随机挑选4杯并且全为甲种酒的概率是P = C(4, 4) / C(8, 4)。
步骤 2：计算二项分布的概率
对于第二个问题，我们使用二项分布。令X表示10次试验中成功的次数。X服从二项分布B(10, 1/70)，其中n=10（试验次数），p=1/70（每次试验成功的概率，我们在第一部分已经计算得到）。我们要计算P(X >= 3)，也就是在10次试验中至少成功3次的概率。P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]。
步骤 3：计算P(X >= 3)
P(X >= 3) = 1 - [C(10, 0) * (1/70)^0 * (69/70)^10 + C(10, 1) * (1/70)^1 * (69/70)^9 + C(10, 2) * (1/70)^2 * (69/70)^8]。