题目
设L为柱面x^2+y^2=1和平面y+z=0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分int_(L)zdx+ydz=(）.A. (3)/(2)piB. (1)/(2)piC. piD. 0
设$L$为柱面$x^{2}+y^{2}=1$和平面$y+z=0$的交线，从$z$轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分$\int_{L}zdx+ydz=$(）.
A. $\frac{3}{2}\pi$
B. $\frac{1}{2}\pi$
C. $\pi$
D. $0$
题目解答
答案
C. $\pi$
解析
步骤 1：参数化曲线 $L$
曲线 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 和平面 $y+z=0$ 的交线。我们可以将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，$z = -\sin t$，其中 $t \in [0, 2\pi]$。这是因为柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 的参数化形式为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，而平面 $y+z=0$ 可以表示为 $z = -y$，即 $z = -\sin t$。
步骤 2：代入曲线积分
将参数化后的曲线代入曲线积分 $\int_{L}zdx+ydz$，得到： \[ \oint_{L} z \, dx + y \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left[ (-\sin t) \cdot (-\sin t) + \sin t \cdot (-\cos t) \right] \, dt = \int_{0}^{2\pi} \left[ \sin^2 t - \sin t \cos t \right] \, dt \]
步骤 3：利用三角恒等式化简并计算积分
利用三角恒等式 $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ 和 $\sin t \cos t = \frac{\sin 2t}{2}$，将积分式化简为： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t - \sin 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = \pi \] 其中，$\int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt = 0$ 和 $\int_{0}^{2\pi} \sin 2t \, dt = 0$，因为它们是周期函数在完整周期上的积分。
曲线 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 和平面 $y+z=0$ 的交线。我们可以将曲线 $L$ 参数化为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，$z = -\sin t$，其中 $t \in [0, 2\pi]$。这是因为柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 的参数化形式为 $x = \cos t$，$y = \sin t$，而平面 $y+z=0$ 可以表示为 $z = -y$，即 $z = -\sin t$。
步骤 2：代入曲线积分
将参数化后的曲线代入曲线积分 $\int_{L}zdx+ydz$，得到： \[ \oint_{L} z \, dx + y \, dz = \int_{0}^{2\pi} \left[ (-\sin t) \cdot (-\sin t) + \sin t \cdot (-\cos t) \right] \, dt = \int_{0}^{2\pi} \left[ \sin^2 t - \sin t \cos t \right] \, dt \]
步骤 3：利用三角恒等式化简并计算积分
利用三角恒等式 $\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ 和 $\sin t \cos t = \frac{\sin 2t}{2}$，将积分式化简为： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos 2t - \sin 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = \pi \] 其中，$\int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt = 0$ 和 $\int_{0}^{2\pi} \sin 2t \, dt = 0$，因为它们是周期函数在完整周期上的积分。