题目
(5)伯努利方程 '-y-3x(y)^4ln x=0 的解为 () .-|||-(A) ^-3-dfrac (3)(4)(x)^2(ln x+1)=0 (B) dfrac (3)(4)x(y)^-3+xy(2ln x-1)=0-|||-(C) (y)^-3+dfrac (3)(4)(x)^3(2ln x+1)=C (D) (y)^-3+dfrac (3)(4)(x)^2(2ln x-1)=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程化为标准形式
给定方程为 $3x{y}^{7}-y-3x{y}^{4}\ln x=0$，可以重写为 $y'-3x{y}^{4}\ln x=3x{y}^{7}$。这是一个伯努利方程，形式为 $y'+P(x)y=Q(x)y^n$，其中 $n=7$，$P(x)=-3x\ln x$，$Q(x)=3x$。
步骤 2：进行变量替换
令 $z=y^{1-n}=y^{-6}$，则 $y=z^{-\frac{1}{6}}$，$y'=-\frac{1}{6}z^{-\frac{7}{6}}z'$。将这些代入原方程，得到 $-\frac{1}{6}z^{-\frac{7}{6}}z'-3x\ln xz^{-\frac{1}{6}}=3xz^{-\frac{7}{6}}$，简化后得到 $z'+18x\ln xz=-18x$。
步骤 3：求解线性方程
这是一个线性方程，其通解为 $z=e^{-\int 18x\ln x dx}(\int -18xe^{\int 18x\ln x dx}dx+C)$。计算积分 $\int 18x\ln x dx$，得到 $9x^2\ln x-\frac{9}{2}x^2+C$。因此，$z=e^{-(9x^2\ln x-\frac{9}{2}x^2)}(\int -18xe^{9x^2\ln x-\frac{9}{2}x^2}dx+C)$。简化后得到 $z=x^{-3}(2\ln x-1)+C$。
步骤 4：回代求解 $y$
由于 $z=y^{-6}$，所以 $y^{-6}=x^{-3}(2\ln x-1)+C$，即 $y^{-3}=x^{-\frac{3}{2}}(2\ln x-1)^{\frac{1}{2}}+C^{\frac{1}{2}}$。整理得到 $x{y}^{-3}+\dfrac {3}{4}{x}^{2}(2\ln x-1)=C$。
给定方程为 $3x{y}^{7}-y-3x{y}^{4}\ln x=0$，可以重写为 $y'-3x{y}^{4}\ln x=3x{y}^{7}$。这是一个伯努利方程，形式为 $y'+P(x)y=Q(x)y^n$，其中 $n=7$，$P(x)=-3x\ln x$，$Q(x)=3x$。
步骤 2：进行变量替换
令 $z=y^{1-n}=y^{-6}$，则 $y=z^{-\frac{1}{6}}$，$y'=-\frac{1}{6}z^{-\frac{7}{6}}z'$。将这些代入原方程，得到 $-\frac{1}{6}z^{-\frac{7}{6}}z'-3x\ln xz^{-\frac{1}{6}}=3xz^{-\frac{7}{6}}$，简化后得到 $z'+18x\ln xz=-18x$。
步骤 3：求解线性方程
这是一个线性方程，其通解为 $z=e^{-\int 18x\ln x dx}(\int -18xe^{\int 18x\ln x dx}dx+C)$。计算积分 $\int 18x\ln x dx$，得到 $9x^2\ln x-\frac{9}{2}x^2+C$。因此，$z=e^{-(9x^2\ln x-\frac{9}{2}x^2)}(\int -18xe^{9x^2\ln x-\frac{9}{2}x^2}dx+C)$。简化后得到 $z=x^{-3}(2\ln x-1)+C$。
步骤 4：回代求解 $y$
由于 $z=y^{-6}$，所以 $y^{-6}=x^{-3}(2\ln x-1)+C$，即 $y^{-3}=x^{-\frac{3}{2}}(2\ln x-1)^{\frac{1}{2}}+C^{\frac{1}{2}}$。整理得到 $x{y}^{-3}+\dfrac {3}{4}{x}^{2}(2\ln x-1)=C$。