X服从lambda=2的泊松分布。则（）A. 设分布函数为F(x),则F(0)=e^-2B. Px=0=Px=1C. P(x=0)=2e^-2D. Pxleq1=2e^-2

本题考查泊松分布的概率质量函数、分布函数的相关知识。解题的关键在于牢记泊松分布的概率质量函数公式，并能根据该公式计算不同取值下的概率以及分布函数的值。

泊松分布的概率质量函数

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，其概率质量函数为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中$k = 0, 1, 2, \cdots$，$\lambda\gt0$。本题中$\lambda = 2$。

泊松分布的分布函数

分布函数$F(x)=P\{X\leq x\}$，对于离散型随机变量，$F(x)=\sum_{k = -\infty}^{x}P\{X = k\}$。

对各选项的分析

• 选项A：
  分布函数$F(0)=P\{X\leq 0\}$，因为$X$只能取非负整数，所以$P\{X\leq 0\}=P\{X = 0\}$。
  将$\lambda = 2$，$k = 0$代入概率质量函数$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$可得：
  $P\{X = 0\} = \frac{2^0 e^{-2}}{0!}$
  因为$2^0 = 1$，$0! = 1$，所以$P\{X = 0\} = e^{-2}$，即$F(0)=e^{-2}$，该选项正确。
• 选项B：
  计算$P\{X = 0\}$，将$\lambda = 2$，$k = 0$代入概率质量函数可得：
  $P\{X = 0\} = \frac{2^0 e^{-2}}{0!}=e^{-2}$
  计算$P\{X = 1\}$，将$\lambda = 2$，$k = 1$代入概率质量函数可得：
  $P\{X = 1\} = \frac{2^1 e^{-2}}{1!}=2e^{-2}$
  因为$e^{-2}\neq 2e^{-2}$，所以$P\{X = 0\}\neq P\{X = 1\}$，该选项错误。
• 选项C：
  由前面计算可知$P\{X = 0\} = e^{-2}\neq 2e^{-2}$，该选项错误。
• 选项D：
  $P\{X\leq 1\}=P\{X = 0\}+P\{X = 1\}$
  $P\{X = 0\} = e^{-2}$，$P\{X = 1\} = 2e^{-2}$，所以$P\{X\leq 1\}=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}\neq 2e^{-2}$，该选项错误。