已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求|A*+3A+2E|.

考查要点：本题主要考查矩阵的伴随矩阵性质、特征值的运算以及行列式的计算。
解题核心思路：

1. 利用特征值的性质：已知矩阵A的特征值，可推导出其伴随矩阵A*、逆矩阵A⁻¹等的特征值。
2. 矩阵多项式的特征值：若矩阵B是A的多项式（如A* + 3A + 2E），则B的特征值可由A的特征值对应计算得到。
3. 行列式的计算：矩阵B的行列式等于其所有特征值的乘积。

破题关键点：

• 伴随矩阵的特征值：A*的特征值为$\frac{|A|}{\lambda_i}$，其中$\lambda_i$是A的特征值，$|A|$是A的行列式。
• 矩阵多项式的特征值叠加：将A*、3A、2E的特征值分别计算后相加，得到B的特征值。

步骤1：计算矩阵A的行列式
已知A的特征值为1, 2, -3，则：
$|A| = 1 \times 2 \times (-3) = -6$

*步骤2：求A的特征值*
根据伴随矩阵性质，A的特征值为$\frac{|A|}{\lambda_i}$，即：

• 对于$\lambda_1 = 1$，A*的特征值为$\frac{-6}{1} = -6$
• 对于$\lambda_2 = 2$，A*的特征值为$\frac{-6}{2} = -3$
• 对于$\lambda_3 = -3$，A*的特征值为$\frac{-6}{-3} = 2$

步骤3：求3A的特征值
将A的特征值乘以3：

• $3 \times 1 = 3$
• $3 \times 2 = 6$
• $3 \times (-3) = -9$

步骤4：求2E的特征值
单位矩阵2E的特征值均为2，共3个。

*步骤5：求B = A + 3A + 2E的特征值**
将对应部分的特征值相加：

• 对于$\lambda_1 = 1$：$-6 + 3 + 2 = -1$
• 对于$\lambda_2 = 2$：$-3 + 6 + 2 = 5$
• 对于$\lambda_3 = -3$：$2 + (-9) + 2 = -5$

步骤6：计算行列式|B|
B的特征值为-1, 5, -5，因此：
$|B| = (-1) \times 5 \times (-5) = 25$