题目
6.[判断题]判断：对于正项级数sum_(n=1)^inftyu_(n)及sum_(n=1)^inftyv_(n)，若当n→∞时，通项u_(n)与v_(n)为等价无穷小量，则sum_(n=1)^inftyu_(n)与sum_(n=1)^inftyv_(n)同时收敛或同时发散.（）A 对B 错
6.[判断题]
判断：对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$及$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$，若当n→∞时，通项$u_{n}$与$v_{n}$为等价无穷小量，则$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$同时收敛或同时发散.（）
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要分析正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$的收敛性，已知当$n \to \infty$时，通项$u_n$和$v_n$为等价无穷小量。这意味着$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$。
我们可以使用极限比较测试来确定这两个级数的收敛性。极限比较测试指出，对于两个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$，如果$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = L$，其中$0 < L < \infty$，那么这两个级数同时收敛或同时发散。
在本题中，由于$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$，满足极限比较测试的条件，其中$L = 1$。因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$同时收敛或同时发散。
因此，题目中的陈述是正确的。答案是：
$\boxed{A}$
解析
步骤 1：理解等价无穷小量
等价无穷小量是指当$n \to \infty$时，两个函数的比值的极限为1，即$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$。这意味着$u_n$和$v_n$在$n$趋于无穷大时，它们的大小是等价的。
步骤 2：应用极限比较测试
极限比较测试指出，对于两个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$，如果$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = L$，其中$0 < L < \infty$，那么这两个级数同时收敛或同时发散。在本题中，由于$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$，满足极限比较测试的条件，其中$L = 1$。
步骤 3：得出结论
根据极限比较测试，由于$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$同时收敛或同时发散。
等价无穷小量是指当$n \to \infty$时，两个函数的比值的极限为1，即$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$。这意味着$u_n$和$v_n$在$n$趋于无穷大时，它们的大小是等价的。
步骤 2：应用极限比较测试
极限比较测试指出，对于两个正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$，如果$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = L$，其中$0 < L < \infty$，那么这两个级数同时收敛或同时发散。在本题中，由于$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$，满足极限比较测试的条件，其中$L = 1$。
步骤 3：得出结论
根据极限比较测试，由于$\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$同时收敛或同时发散。