题目
(4)(dy)/(dx)+3y=8,y|_(x=0)=2;
(4)$\frac{dy}{dx}+3y=8,y|_{x=0}=2;$
题目解答
答案
将微分方程改写为可分离变量形式：
\[
\frac{dy}{dx} = 8 - 3y \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{8 - 3y} = dx
\]
两边积分：
\[
-\frac{1}{3} \ln |8 - 3y| = x + C
\]
代入初始条件 $y|_{x=0} = 2$：
\[
C = -\frac{1}{3} \ln 2
\]
解得：
\[
\ln |8 - 3y| = -3x + \ln 2 \quad \Rightarrow \quad 8 - 3y = 2e^{-3x}
\]
整理得特解：
\[
y = \frac{8}{3} - \frac{2}{3}e^{-3x}
\]
或
\[
x = -\frac{1}{3} \ln (8 - 3y) + \frac{1}{3} \ln 2
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{c}
x = -\frac{1}{3} \ln (8 - 3y) + \frac{1}{3} \ln 2 \\
\text{或} \\
y = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} e^{-3x}
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查一阶线性常微分方程的解法，特别是利用分离变量法或积分因子法求解，并结合初始条件确定特解。
解题核心思路：
- 将方程转化为可分离变量形式，通过移项将变量$y$与$x$分离到等式两边。
- 积分求解，对两边分别积分，注意积分常数的引入。
- 代入初始条件，确定积分常数的具体值，得到特解。
- 整理表达式，根据题目要求写出显式解（$y$关于$x$）或隐式解（$x$关于$y$）。
破题关键点：
- 分离变量时注意分母的处理，避免符号错误。
- 积分时对分母函数$8-3y$的积分需引入绝对值，但通过初始条件可确定符号无需保留。
- 显式解与隐式解的等价性，两种形式均正确。
步骤1：分离变量
原方程 $\frac{dy}{dx} + 3y = 8$ 可变形为：
$\frac{dy}{dx} = 8 - 3y \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{8 - 3y} = dx$
步骤2：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{1}{8 - 3y} \, dy = \int 1 \, dx$
左边积分：令 $u = 8 - 3y$，则 $du = -3 dy$，得：
$-\frac{1}{3} \ln |8 - 3y| = x + C$
步骤3：代入初始条件
当 $x = 0$ 时，$y = 2$，代入得：
$-\frac{1}{3} \ln |8 - 3 \cdot 2| = 0 + C \quad \Rightarrow \quad C = -\frac{1}{3} \ln 2$
步骤4：整理表达式
将常数代入积分结果：
$-\frac{1}{3} \ln |8 - 3y| = x - \frac{1}{3} \ln 2 \quad \Rightarrow \quad \ln |8 - 3y| = -3x + \ln 2$
取指数消去对数：
$8 - 3y = 2e^{-3x} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8}{3} - \frac{2}{3}e^{-3x}$
或整理为隐式形式：
$x = -\frac{1}{3} \ln (8 - 3y) + \frac{1}{3} \ln 2$