设事件A在每一次试验中发生的概率为 0.3 ,当A发生不少于3次时,指示灯 发出信号。(1)进行了 5次独立试验,求指示灯发出信号的概率 。(2)进行了 7次独立试验,求指示灯发出信号的概率

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算，涉及累积概率的求解方法。

解题核心思路：

1. 识别随机变量：设事件A发生的次数为$X$，则$X$服从参数为$n$（试验次数）和$p=0.3$的二项分布，即$X \sim B(n, 0.3)$。
2. 明确目标概率：指示灯发出信号的条件是$X \geq 3$，需计算$P(X \geq 3)$。
3. 灵活选择计算方式：直接计算$P(X=3)+P(X=4)+\cdots+P(X=n)$，或利用互补事件简化计算，即$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$。

破题关键点：

• 二项分布公式：$P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$。
• 累积概率的拆分：通过计算$P(X \leq 2)$的补集，减少计算步骤。

第（1）题（$n=5$次试验）

步骤1：计算$P(X \leq 2)$

• $P(X=0)$：
  $C(5,0) \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.16807 = 0.16807$
• $P(X=1)$：
  $C(5,1) \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 5 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 0.36015$
• $P(X=2)$：
  $C(5,2) \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 0.3087$

步骤2：求累积概率

$P(X \leq 2) = 0.16807 + 0.36015 + 0.3087 = 0.83692$

步骤3：求目标概率

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0.83692 = 0.16308 \approx 0.163$

第（2）题（$n=7$次试验）

步骤1：计算$P(X \leq 2)$

• $P(X=0)$：
  $C(7,0) \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^7 = 1 \cdot 1 \cdot 0.0823543 = 0.0823543$
• $P(X=1)$：
  $C(7,1) \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^6 = 7 \cdot 0.3 \cdot 0.117649 = 0.2470629$
• $P(X=2)$：
  $C(7,2) \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^5 = 21 \cdot 0.09 \cdot 0.16807 = 0.3176523$

步骤2：求累积概率

$P(X \leq 2) = 0.0823543 + 0.2470629 + 0.3176523 = 0.6470695$

步骤3：求目标概率

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0.6470695 = 0.3529305 \approx 0.353$