z^2-4iz-(4-9i)=0的根为_____。

考查要点：本题主要考查复数二次方程的解法，涉及复数的运算、判别式的计算以及复数开平方的方法。

解题核心思路：

1. 应用求根公式：将方程整理为标准形式$az^2 + bz + c = 0$，直接代入求根公式$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
2. 计算判别式：注意复数运算的规则，特别是$i^2 = -1$。
3. 复数开平方：通过设$\sqrt{ki} = x + yi$，解方程组求出平方根。

破题关键点：

• 正确计算判别式$b^2 - 4ac$，注意符号和复数运算。
• 复数开平方时，通过代数方法分解实部和虚部分别求解。

方程形式：$z^2 - 4iz - (4 - 9i) = 0$，对应$a = 1$，$b = -4i$，$c = -(4 - 9i)$。

步骤1：计算判别式

判别式$D = b^2 - 4ac$：
$\begin{aligned}b^2 &= (-4i)^2 = 16i^2 = -16, \\4ac &= 4 \cdot 1 \cdot (-(4 - 9i)) = -16 + 36i, \\D &= -16 - (-16 + 36i) = -36i.\end{aligned}$

步骤2：求$\sqrt{-36i}$

设$\sqrt{-36i} = x + yi$，则：
$(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -36i.$
解得：

• 实部$x^2 - y^2 = 0$，得$x = \pm y$；
• 虚部$2xy = -36$，代入$x = -y$得$2(-y^2) = -36$，解得$y = \pm 3\sqrt{2}$。
  因此，$\sqrt{-36i} = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i$或$-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$。

步骤3：代入求根公式

$z = \frac{4i \pm (3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i)}{2}.$
分两种情况：

1. 加号：
   $z = \frac{4i + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}i}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \left(2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)i.$
2. 减号：
   $z = \frac{4i - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \left(2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)i.$