题目
函数{x)^2+3，xgt 0 cos x，xleqslant 0.的间断点是 .
函数$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+3，x\gt 0\\ \cos x，x\leqslant 0\end{array}\right.$的间断点是 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数定义域为全体实数，即$x\in (-\infty, +\infty)$。
步骤 2：分析函数在$x=0$处的左右极限
- 当$x\rightarrow 0^+$时，函数值为$x^2+3$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0^2+3=3$。
- 当$x\rightarrow 0^-$时，函数值为$\cos x$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\cos 0=1$。
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)$，即函数在$x=0$处的左右极限不相等，因此$x=0$是函数的间断点，且为跳跃间断点。
函数定义域为全体实数，即$x\in (-\infty, +\infty)$。
步骤 2：分析函数在$x=0$处的左右极限
- 当$x\rightarrow 0^+$时，函数值为$x^2+3$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0^2+3=3$。
- 当$x\rightarrow 0^-$时，函数值为$\cos x$，因此$\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\cos 0=1$。
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)$，即函数在$x=0$处的左右极限不相等，因此$x=0$是函数的间断点，且为跳跃间断点。