题目
4.（10.0分）设随机变量X服从参数为λ的泊松分布π（λ），且P(X=0)=P(X=1)，则λ=____.
4.（10.0分）设随机变量X服从参数为λ的泊松分布π（λ），且P{X=0}=P{X=1}，则λ=____.
题目解答
答案
为了确定泊松分布的参数$\lambda$，已知$P\{X=0\} = P\{X=1\}$，我们首先回顾泊松分布的概率质量函数。泊松随机变量$X$取值$k$的概率由下式给出：
\[ P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]
对于$k = 0$，概率为：
\[ P\{X = 0\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} \]
对于$k = 1$，概率为：
\[ P\{X = 1\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda \]
根据题目，这两个概率相等：
\[ P\{X = 0\} = P\{X = 1\} \]
将概率的表达式代入，我们得到：
\[ e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \lambda \]
为了解$\lambda$，我们可以将等式的两边都除以$e^{-\lambda}$（假设$\lambda \neq 0$）：
\[ 1 = \lambda \]
因此，$\lambda$的值为：
\[ \lambda = 1 \]
所以，答案是：
\[
\boxed{1}
\]
解析
步骤 1：回顾泊松分布的概率质量函数
泊松随机变量$X$取值$k$的概率由下式给出： \[ P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] 其中，$\lambda$是泊松分布的参数，$k$是非负整数。
步骤 2：计算$P\{X=0\}$和$P\{X=1\}$
对于$k = 0$，概率为： \[ P\{X = 0\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} \] 对于$k = 1$，概率为： \[ P\{X = 1\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda \]
步骤 3：根据题目条件建立方程
根据题目，$P\{X=0\} = P\{X=1\}$，代入上面的表达式，我们得到： \[ e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \lambda \] 为了解$\lambda$，我们可以将等式的两边都除以$e^{-\lambda}$（假设$\lambda \neq 0$）： \[ 1 = \lambda \]
泊松随机变量$X$取值$k$的概率由下式给出： \[ P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] 其中，$\lambda$是泊松分布的参数，$k$是非负整数。
步骤 2：计算$P\{X=0\}$和$P\{X=1\}$
对于$k = 0$，概率为： \[ P\{X = 0\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} \] 对于$k = 1$，概率为： \[ P\{X = 1\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda \]
步骤 3：根据题目条件建立方程
根据题目，$P\{X=0\} = P\{X=1\}$，代入上面的表达式，我们得到： \[ e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \lambda \] 为了解$\lambda$，我们可以将等式的两边都除以$e^{-\lambda}$（假设$\lambda \neq 0$）： \[ 1 = \lambda \]