[题目]证明:当 gt 0 时 sqrt (1+x)ln (1+x)lt x.

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=\sqrt {1+x}\ln (1+x)-x$，其中 $x\gt 0$。
步骤 2：求导
求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，得到 $f'(x)=\dfrac {\ln (1+x)}{2\sqrt {1+x}}+\dfrac {\sqrt {1+x}}{1+x}-1$。
步骤 3：定义辅助函数
定义辅助函数 $g(x)=\ln (1+x)-2\sqrt {1+x}+2$，并求其导数 $g'(x)$，得到 $g'(x)=\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {1}{\sqrt {1+x}}$。
步骤 4：分析辅助函数的单调性
分析 $g'(x)$ 的符号，得到 $g'(x)\lt 0$，因此 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上是单调递减函数。
步骤 5：分析原函数的单调性
由于 $g(x)\lt g(0)=0$，因此 $f'(x)\lt 0$，所以 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty )$ 上是单调递减函数。
步骤 6：得出结论
由于 $f(x)\lt f(0)=0$，因此 $\sqrt {1+x}\ln (1+x)-x\lt 0$，即 $\sqrt {1+x}\ln (1+x)\lt x$。