题目

某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省 ?

某工厂需要围建一个面积为 512  平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省 ? 

题目解答

答案

要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示。

设场地宽为 x,  则长为 512x ,…(2  分 ) 

新砌墙的总长度为 L=2x+512x (x>0).…(4  分 ) 

求导 L ′ =2−512x 2  ,…(6  分 ) 

令 L ′ =0  得 x=−16  或 x=16  ，

∵x>0,∴x=16.…(8  分 ) 

当 x∈(0,16)  时 ,L ′ <0,…(9  分 ) 

当 x∈(16,+∞)  时 ,L ′ >0,…(10  分 ) 

∴  当 x=16  时 ,L  取得极小值 ,…(11  分 ) 

且这个极小值为函数 L  在 (0,+∞)  上的最小值 ,L min =64(m).…(13  分 ) 

答：当堆料场宽为 16  米 ,  长为 32  米时 ,  可使砌墙所用的材料最省 .…(14  分 ) 

解析

步骤 1：定义变量
设堆料场的宽为 \(x\) 米，由于堆料场的面积为 512 平方米，因此堆料场的长为 \(\frac{512}{x}\) 米。

步骤 2：建立函数
堆料场的三边需要砌新的墙壁，因此新砌墙的总长度为 \(L = 2x + \frac{512}{x}\) 米，其中 \(x > 0\)。

步骤 3：求导数
为了找到 \(L\) 的最小值，我们需要对 \(L\) 关于 \(x\) 求导，得到 \(L' = 2 - \frac{512}{x^2}\)。

步骤 4：求导数为零的点
令 \(L' = 0\)，解得 \(x = 16\) 或 \(x = -16\)。由于 \(x > 0\)，我们只考虑 \(x = 16\)。

步骤 5：验证极值
当 \(x \in (0, 16)\) 时，\(L' < 0\)，当 \(x \in (16, +\infty)\) 时，\(L' > 0\)，因此 \(x = 16\) 是 \(L\) 的极小值点，也是最小值点。

步骤 6：计算最小值
当 \(x = 16\) 时，堆料场的长为 \(\frac{512}{16} = 32\) 米，此时新砌墙的总长度为 \(L = 2 \times 16 + \frac{512}{16} = 64\) 米。