1、设 X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则 X 必为有限维。 ( )

步骤 1：定义和理解
线性赋范空间 X 中的单位球是指所有范数小于等于 1 的向量的集合。列紧集是指任何序列都有收敛的子序列。有限维空间是指空间的基向量个数是有限的。

步骤 2：应用Riesz引理
Riesz引理指出，如果 X 是无限维的线性赋范空间，那么对于任意的正数 ε < 1，存在一个范数为 1 的向量 x，使得对于所有范数为 1 的向量 y，有 ||x - y|| > 1 - ε。这意味着在无限维空间中，单位球中的点不能被有限个点的 ε-邻域覆盖。

步骤 3：证明单位球列紧集的有限维性
假设 X 是无限维的，那么根据Riesz引理，我们可以构造一个单位球中的序列，使得任意两个向量之间的距离都大于某个正数。这样的序列没有收敛的子序列，因此单位球不是列紧集。这与题目条件矛盾，所以 X 必须是有限维的。