题目
普遍定理的综合应用普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。在许多较为复杂的问题中,往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。例如时常遇到这样一种类型的问题:已知作用于系统上的主动力,需求系统的运动及未知约束力。这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系统所受力的特点,考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系,在理想约束的情形下,应用动能定理常常可以做到这点。由反映这些关系的方程求得系统的运动后,再应用相应的普遍定理,通常是应用动量定理或动量矩定理,以求出未知的约束力。[例] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P,半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶;重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计,绳不可伸长,盘B作纯滚动,初始时系统静止)
普遍定理的综合应用普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。在许多较为复杂的问题中,往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。例如时常遇到这样一种类型的问题:已知作用于系统上的主动力,需求系统的运动及未知约束力。这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系统所受力的特点,考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系,在理想约束的情形下,应用动能定理常常可以做到这点。由反映这些关系的方程求得系统的运动后,再应用相应的普遍定理,通常是应用动量定理或动量矩定理,以求出未知的约束力。[例] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P,半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶;重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计,绳不可伸长,盘B作纯滚动,初始时系统静止)
题目解答
答案
解:① 取系统为研究对象;
② 计算主动力的功;
③ 运动分析计算动能;
④ 根据动能定理求解:
上式求导得:
综合-9:已知均质曲柄OA长为L,质量为
,力偶矩M为常数;滑块A光滑,质量不计;框架质量为,质心在C点,框架与滑道间的摩擦系数为,当曲柄与水平线夹角为时,系统由静止开始运动。求:曲柄转过一周时的角速度。
例13-9、综合-13、综合-14
解析
步骤 1：确定系统和主动力
系统包括均质圆盘A、B和重物D。主动力包括盘A上的力偶矩M和重物D的重力Q。
步骤 2：计算主动力的功
由于盘A上的力偶矩M是常量，且盘B作纯滚动，因此在下落距离h时，力偶矩M所做的功为$W_M = M\theta$，其中$\theta$是盘A转过的角度。重物D的重力Q所做的功为$W_Q = -Qh$，因为重物D下降了距离h。
步骤 3：计算系统的动能
初始时系统静止，因此初始动能$T_1 = 0$。下落距离h时，重物D的速度为$v$，盘A和盘B的角速度为$\omega$。由于盘B作纯滚动，因此$v = R\omega$。系统的动能$T_2$为：
$$T_2 = \frac{1}{2}I_A\omega^2 + \frac{1}{2}I_B\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
其中，$I_A$和$I_B$分别是盘A和盘B的转动惯量，$m$是重物D的质量。由于盘A和盘B是均质圆盘，因此$ I_A = I_B = \frac{1}{2}mR^2$。所以，系统的动能$T_2$可以写为：
$$T_2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2 + \frac{1}{2}mR^2)\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
由于$v = R\omega$，所以$T_2$可以进一步简化为：
$$T_2 = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{2}m(R\omega)^2 = mR^2\omega^2$$
步骤 4：应用动能定理
根据动能定理，系统的动能变化等于主动力所做的功，即：
$$T_2 - T_1 = W_M + W_Q$$
代入已知的值，得到：
$$mR^2\omega^2 = M\theta - Qh$$
由于$\theta = \frac{h}{R}$，所以：
$$mR^2\omega^2 = M\frac{h}{R} - Qh$$
解得：
$$\omega^2 = \frac{M}{mR^3}h - \frac{Q}{mR^2}h$$
$$\omega = \sqrt{\frac{M}{mR^3}h - \frac{Q}{mR^2}h}$$
由于$v = R\omega$，所以：
$$v = R\sqrt{\frac{M}{mR^3}h - \frac{Q}{mR^2}h}$$
$$v = \sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}$$
重物D的加速度$a$为：
$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh})$$
由于$v = \sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}$，所以：
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)\frac{1}{\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}}\frac{dh}{dt}$$
由于$\frac{dh}{dt} = v$，所以：
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)\frac{1}{\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}}v$$
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)\frac{1}{\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}}\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}$$
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)$$
系统包括均质圆盘A、B和重物D。主动力包括盘A上的力偶矩M和重物D的重力Q。
步骤 2：计算主动力的功
由于盘A上的力偶矩M是常量，且盘B作纯滚动，因此在下落距离h时，力偶矩M所做的功为$W_M = M\theta$，其中$\theta$是盘A转过的角度。重物D的重力Q所做的功为$W_Q = -Qh$，因为重物D下降了距离h。
步骤 3：计算系统的动能
初始时系统静止，因此初始动能$T_1 = 0$。下落距离h时，重物D的速度为$v$，盘A和盘B的角速度为$\omega$。由于盘B作纯滚动，因此$v = R\omega$。系统的动能$T_2$为：
$$T_2 = \frac{1}{2}I_A\omega^2 + \frac{1}{2}I_B\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
其中，$I_A$和$I_B$分别是盘A和盘B的转动惯量，$m$是重物D的质量。由于盘A和盘B是均质圆盘，因此$ I_A = I_B = \frac{1}{2}mR^2$。所以，系统的动能$T_2$可以写为：
$$T_2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2 + \frac{1}{2}mR^2)\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$$
由于$v = R\omega$，所以$T_2$可以进一步简化为：
$$T_2 = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 + \frac{1}{2}m(R\omega)^2 = mR^2\omega^2$$
步骤 4：应用动能定理
根据动能定理，系统的动能变化等于主动力所做的功，即：
$$T_2 - T_1 = W_M + W_Q$$
代入已知的值，得到：
$$mR^2\omega^2 = M\theta - Qh$$
由于$\theta = \frac{h}{R}$，所以：
$$mR^2\omega^2 = M\frac{h}{R} - Qh$$
解得：
$$\omega^2 = \frac{M}{mR^3}h - \frac{Q}{mR^2}h$$
$$\omega = \sqrt{\frac{M}{mR^3}h - \frac{Q}{mR^2}h}$$
由于$v = R\omega$，所以：
$$v = R\sqrt{\frac{M}{mR^3}h - \frac{Q}{mR^2}h}$$
$$v = \sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}$$
重物D的加速度$a$为：
$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh})$$
由于$v = \sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}$，所以：
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)\frac{1}{\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}}\frac{dh}{dt}$$
由于$\frac{dh}{dt} = v$，所以：
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)\frac{1}{\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}}v$$
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)\frac{1}{\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}}\sqrt{\frac{M}{mR}h - Qh}$$
$$a = \frac{1}{2}(\frac{M}{mR} - Q)$$