题目
设 f(x) = (x)/(2x+3)，则 f^(n)(0) = ________。
设 $f(x) = \frac{x}{2x+3}$，则 $f^{(n)}(0) = \_\_\_\_\_\_\_\_$。
题目解答
答案
将函数 $ f(x) = \frac{x}{2x+3} $ 展开为泰勒级数。
首先，重写函数：
\[
f(x) = \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2x}{3}} = \frac{x}{3} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{2x}{3} \right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{2^k x^{k+1}}{3^{k+1}}
\]
令 $ m = k + 1 $，则：
\[
f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m-1} \frac{2^{m-1} x^m}{3^m}
\]
与泰勒级数 $ f(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{(m)}(0)}{m!} x^m $ 比较系数，得：
\[
\frac{f^{(m)}(0)}{m!} = \begin{cases}
0 & \text{若 } m = 0, \\
(-1)^{m-1} \frac{2^{m-1}}{3^m} & \text{若 } m \geq 1.
\end{cases}
\]
因此，$ f^{(n)}(0) $ 为：
\[
\boxed{
\begin{cases}
0 & \text{若 } n = 0, \\
n! \cdot (-1)^{n-1} \frac{2^{n-1}}{3^n} & \text{若 } n \geq 1.
\end{cases}
}
\]