1.3 求极限 lim_(x to 0)((1)/(x)-(1)/(e^x)-1)=（）bigcirc 1bigcirc 2bigcirc 0bigcirc(1)/(2)

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力，以及灵活运用洛必达法则或泰勒展开的技巧。

解题核心思路：

1. 合并分式：将两个分式通分，转化为分子分母均为无穷小的表达式。
2. 应用洛必达法则：对分子分母分别求导，简化极限形式。
3. 泰勒展开法：利用$e^x$的泰勒展开式，将表达式展开到适当阶数，直接化简求极限。

破题关键点：

• 识别出合并分式后分子分母均为$\frac{0}{0}$型，确定使用洛必达法则的可行性。
• 注意到泰勒展开法中保留足够的项数（至少到二次项），以保证近似精度。

方法一：洛必达法则

1. 合并分式：
   原式可写为：
   $\lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1) - x}{x(e^x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$
   分子和分母在$x \to 0$时均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。

2. 第一次洛必达法则：
   对分子分母分别求导：

   • 分子导数：$\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x) = e^x - 1$
   • 分母导数：$\frac{d}{dx}[x(e^x - 1)] = e^x - 1 + x e^x$
     极限变为：
     $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^x - 1 + x e^x}$
     仍为$\frac{0}{0}$型。

3. 第二次洛必达法则：
   再次对分子分母求导：

   • 分子导数：$\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$
   • 分母导数：$\frac{d}{dx}(e^x - 1 + x e^x) = e^x + e^x + x e^x = 2e^x + x e^x$
     极限化简为：
     $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2e^x + x e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 + x} = \frac{1}{2}$

方法二：泰勒展开

将$e^x$展开到二次项：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
代入原式：
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + \frac{x^2}{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x\left(1 + \frac{x}{2}\right)} \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{x}\left(1 - \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$