题目
5.求极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({tan )^2x-(x)^2}({x)^2(tan )^2x}
题目解答
答案
最佳答案 
解析
步骤 1：使用泰勒展开式
首先，我们使用泰勒展开式来近似 $\tan x$ 和 $x^2$。当 $x$ 接近 $0$ 时，$\tan x$ 可以近似为 $x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，其中 $O(x^5)$ 表示更高阶的项。因此，${\tan}^2 x$ 可以近似为 $x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6)$。
步骤 2：代入近似值
将 ${\tan}^2 x$ 和 $x^2$ 的近似值代入原极限表达式中，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\tan }^{2}x-{x}^{2}}{{x}^{2}{\tan }^{2}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6) - x^2}{{x}^{2}(x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6))}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{2x^4}{3} + O(x^6)}{{x}^{4} + \frac{2x^6}{3} + O(x^8)}$$
步骤 3：简化表达式
由于 $x$ 接近 $0$，$O(x^6)$ 和 $O(x^8)$ 相对于 $x^4$ 和 $x^6$ 可以忽略不计，因此原极限表达式可以简化为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{2x^4}{3}}{{x}^{4}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{3} = \dfrac {2}{3}$$
首先，我们使用泰勒展开式来近似 $\tan x$ 和 $x^2$。当 $x$ 接近 $0$ 时，$\tan x$ 可以近似为 $x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，其中 $O(x^5)$ 表示更高阶的项。因此，${\tan}^2 x$ 可以近似为 $x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6)$。
步骤 2：代入近似值
将 ${\tan}^2 x$ 和 $x^2$ 的近似值代入原极限表达式中，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{\tan }^{2}x-{x}^{2}}{{x}^{2}{\tan }^{2}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6) - x^2}{{x}^{2}(x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6))}$$
$$= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{2x^4}{3} + O(x^6)}{{x}^{4} + \frac{2x^6}{3} + O(x^8)}$$
步骤 3：简化表达式
由于 $x$ 接近 $0$，$O(x^6)$ 和 $O(x^8)$ 相对于 $x^4$ 和 $x^6$ 可以忽略不计，因此原极限表达式可以简化为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{2x^4}{3}}{{x}^{4}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{3} = \dfrac {2}{3}$$