题目

当k满足____时, alpha_(1)=(1,2,1),alpha_(2)=(2,3,k),alpha_(3)=(3,k,3) 为 R^3 的一组基。 A. k neq 2 或 k neq 6B. k neq 2 且 k neq 6C. k = 2 或 k = 6D. k = 2 且 k = 6

当k满足____时,
$\alpha_{1}=(1,2,1)$,$\alpha_{2}=(2,3,k)$,$\alpha_{3}=(3,k,3)$ 为 $R^{3}$ 的一组基。

  • A. $k \neq 2$ 或 $k \neq 6$
  • B. $k \neq 2$ 且 $k \neq 6$
  • C. $k = 2$ 或 $k = 6$
  • D. $k = 2$ 且 $k = 6$

题目解答

答案

向量组 $\alpha_1 = (1, 2, 1)$, $\alpha_2 = (2, 3, k)$, $\alpha_3 = (3, k, 3)$ 构成 $\mathbb{R}^3$ 的基，当且仅当它们线性无关，即由这些向量构成的矩阵的行列式非零。计算行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & k \\ 1 & k & 3 \end{vmatrix} = -k^2 + 8k - 12 \] 令 $\det(A) \neq 0$，解得： \[ k^2 - 8k + 12 \neq 0 \implies (k-2)(k-6) \neq 0 \implies k \neq 2 \text{ 且 } k \neq 6 \] 因此，正确答案为： \[ \boxed{B} \]

解析

关键思路：判断三个向量是否构成$\mathbb{R}^3$的基，等价于验证它们是否线性无关。对于三维向量，线性无关的充要条件是它们组成的矩阵的行列式非零。

考查要点：

  1. 基的定义：向量组线性无关且张成空间。
  2. 行列式的应用：通过行列式非零判断向量组线性无关。

构造矩阵$A$，将向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$作为列向量：
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & k \\1 & k & 3\end{bmatrix}$

计算行列式$\det(A)$：
$\begin{aligned}\det(A) &= 1 \cdot \begin{vmatrix}3 & k \\ k & 3\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}2 & k \\ 1 & 3\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & k\end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (9 - k^2) - 2 \cdot (6 - k) + 3 \cdot (2k - 3) \\ &= 9 - k^2 - 12 + 2k + 6k - 9 \\ &= -k^2 + 8k - 12 \end{aligned}$

令$\det(A) \neq 0$，解得：
$\begin{aligned}-k^2 + 8k - 12 &\neq 0 \\k^2 - 8k + 12 &\neq 0 \\(k-2)(k-6) &\neq 0 \\\Rightarrow k &\neq 2 \ \text{且} \ k \neq 6\end{aligned}$