I=iiint(x^2+y^2)dv，其中 Omega 是由曲面 3z=x^2+y^2 和平面 z=3 所围成的闭区域，则 I= ().A. (9pi)/(4)B. (81pi)/(2)C. (81pi)/(4)D. (16pi)/(3)

考查要点：本题主要考查三重积分在柱坐标系下的计算，以及空间区域的描述方法。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：由抛物面和平面围成的闭区域，需找到两曲面的交线，确定各变量的范围。
2. 选择坐标系：利用柱坐标系简化积分，因被积函数和区域均具有圆对称性。
3. 转换积分表达式：将直角坐标系下的积分转换为柱坐标系下的积分，并分步计算。

破题关键点：

• 正确描述积分区域：明确抛物面和平面的交线，确定柱坐标下$r, \theta, z$的范围。
• 简化被积函数：利用柱坐标系中$x^2 + y^2 = r^2$，简化积分表达式。
• 分步积分：先对$z$积分，再对$r$积分，最后对$\theta$积分，逐步化简。

步骤1：确定积分区域

抛物面$3z = x^2 + y^2$与平面$z=3$的交线为$x^2 + y^2 = 9$（圆心在原点，半径$r=3$）。积分区域$\Omega$为抛物面下方到平面$z=3$之间的区域，用柱坐标描述为：

• $0 \leq \theta \leq 2\pi$（角度覆盖整个圆周），
• $0 \leq r \leq 3$（半径从中心到交线），
• $\frac{r^2}{3} \leq z \leq 3$（高度从抛物面到平面）。

步骤2：转换积分表达式

在柱坐标系中，$x^2 + y^2 = r^2$，体积元素$dV = r \, dz \, dr \, d\theta$，积分变为：
$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \int_{\frac{r^2}{3}}^{3} r^3 \, dz \, dr \, d\theta$

步骤3：对$z$积分

$\int_{\frac{r^2}{3}}^{3} r^3 \, dz = r^3 \left(3 - \frac{r^2}{3}\right) = 3r^3 - \frac{r^5}{3}$

步骤4：对$r$积分

$\int_{0}^{3} \left(3r^3 - \frac{r^5}{3}\right) \, dr = \frac{243}{4} - \frac{81}{2} = \frac{81}{4}$

步骤5：对$\theta$积分

$\int_{0}^{2\pi} \frac{81}{4} \, d\theta = \frac{81\pi}{2}$