5.计算 iint sin (x+y)|dxdy, 其中 :0leqslant xleqslant pi leqslant yleqslant pi .

步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是一个矩形区域，$0\leqslant x\leqslant \pi$ 和 $0\leqslant y\leqslant \pi$。由于被积函数含有绝对值，需要根据 $\sin(x+y)$ 的符号来分区域积分。

步骤 2：分区域积分
在区域 $D$ 内，$\sin(x+y)$ 的符号会根据 $x+y$ 的值而变化。当 $0\leqslant x+y\leqslant \pi$ 时，$\sin(x+y)\geqslant 0$；当 $\pi\leqslant x+y\leqslant 2\pi$ 时，$\sin(x+y)\leqslant 0$。因此，需要将积分区域 $D$ 分成两个子区域：$D_1$ 和 $D_2$，其中 $D_1$ 是 $0\leqslant x+y\leqslant \pi$ 的区域，$D_2$ 是 $\pi\leqslant x+y\leqslant 2\pi$ 的区域。

步骤 3：计算积分
在 $D_1$ 区域内，$\sin(x+y)\geqslant 0$，因此 $|\sin(x+y)|=\sin(x+y)$；在 $D_2$ 区域内，$\sin(x+y)\leqslant 0$，因此 $|\sin(x+y)|=-\sin(x+y)$。因此，原积分可以写成两个积分的和：
$$\iint_{D} |\sin(x+y)|dxdy = \iint_{D_1} \sin(x+y)dxdy + \iint_{D_2} -\sin(x+y)dxdy$$
由于 $D_1$ 和 $D_2$ 是对称的，因此两个积分的值相等，所以原积分可以简化为：
$$\iint_{D} |\sin(x+y)|dxdy = 2\iint_{D_1} \sin(x+y)dxdy$$
接下来，计算 $D_1$ 区域内的积分。由于 $D_1$ 区域是 $0\leqslant x+y\leqslant \pi$ 的区域，因此可以将 $D_1$ 区域表示为 $0\leqslant x\leqslant \pi$ 和 $0\leqslant y\leqslant \pi-x$。因此，原积分可以写成：
$$\iint_{D_1} \sin(x+y)dxdy = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi-x} \sin(x+y)dydx$$
计算内层积分：
$$\int_{0}^{\pi-x} \sin(x+y)dy = -\cos(x+y)\Big|_{0}^{\pi-x} = -\cos(\pi) + \cos(x) = 1 + \cos(x)$$
计算外层积分：
$$\int_{0}^{\pi} (1 + \cos(x))dx = \int_{0}^{\pi} 1dx + \int_{0}^{\pi} \cos(x)dx = \pi + \sin(x)\Big|_{0}^{\pi} = \pi$$
因此，原积分的值为：
$$\iint_{D} |\sin(x+y)|dxdy = 2\iint_{D_1} \sin(x+y)dxdy = 2\pi$$