lim _(xarrow infty )xsin dfrac (2x)({x)^2+1}=________.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及无穷小量与无穷大量乘积的处理方法，以及等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \infty$时，$\dfrac{2x}{x^2+1}$趋近于$0$，此时$\sin\theta \approx \theta$（等价无穷小替换）。将原式转化为$x \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}$后，进一步化简即可求得极限。

破题关键点：

1. 识别无穷小量：$\dfrac{2x}{x^2+1}$当$x \rightarrow \infty$时趋近于$0$。
2. 应用等价无穷小：$\sin\theta \sim \theta$（当$\theta \rightarrow 0$时）。
3. 化简分式：将$x \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}$转化为$\dfrac{2x^2}{x^2+1}$，通过分子分母最高次项系数比值求极限。

步骤1：分析$\dfrac{2x}{x^2+1}$的极限
当$x \rightarrow \infty$时，分母$x^2+1 \sim x^2$，因此：
$\dfrac{2x}{x^2+1} \sim \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x} \rightarrow 0.$

步骤2：应用等价无穷小替换
当$\theta \rightarrow 0$时，$\sin\theta \sim \theta$，因此：
$\sin\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right) \sim \dfrac{2x}{x^2+1}.$

步骤3：代入原式并化简
原式可近似为：
$x \cdot \dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{2x^2}{x^2+1}.$

步骤4：求分式极限
分子分母同除以$x^2$：
$\dfrac{2x^2}{x^2+1} = \dfrac{2}{1 + \dfrac{1}{x^2}} \rightarrow \dfrac{2}{1 + 0} = 2.$