题目

(1)用科学记数法表示0.00000041=_______． (2)若({a)^x}=3，则({( {{a)^2} )}^x}=________ (3)写出一个以 m=y+2 (n为有理数)，则1+b+c=_______.

$(1)$用科学记数法表示$0.00000041=$_______． $(2)$若${{a}^{x}}=3$，则${{\left( {{a}^{2}} \right)}^{x}}=$________ $(3)$写出一个以$\begin{cases} x=2 \\ y=-3 \end{cases}$为解的二元一次方程组_______$.($答案不唯一$)$ $(4)$若$y-2x=1$，则$6x-3y+2=$________$.$ $(5)$若${{x}^{2}}+mx+25$是完全平方式，则$m=$________$.$ $(6)$如图，两直线$a$，$b$被第三条直线$c$所截，若$∠1=50^{\circ}$，$∠2=130^{\circ}$，则直线$a$，$b$的位置关系是________$.$ $(7)$如图所示，一座楼房的楼梯，高$1$米，水平距离是$2.8$米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯________米． $(8)$若${{(x-2)}^{0}}=1$，则满足条件的$x$的取值范围是________$.$ $(9)$如图，一把直尺沿直线断开并错位，点$E$、$D$、$B$、$F$在同一直线上，若$∠ADE=145^{\circ}$，则$∠DBC$的度数为________$.$ $(10)$阅读材料：写出二元一次方程$x-3y=6$的几个解：$\begin{cases} x=0 \\ y=-2 \end{cases},\begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases},\begin{cases} x=6 \\ y=0 \end{cases},\cdots $，发现这些解的一般形式可表示为$\begin{cases} x=3m \\ y=m-2 \end{cases}$$(m$为有理数$).$把一般形式再变形为$\begin{cases} m=\dfrac{x}{3} \\ m=y+2 \end{cases}$，可得$\dfrac{x}{3}=y+2$，整理得原方程$x-3y=6$．根据阅读材料解答下列问题：若二元一次方程$x+by=c$的解，可以写成$\begin{cases} x=2n \\ y=n+1 \end{cases}$$(n$为有理数$)$，则$1+b+c$$=$_______$.$

题目解答

答案

$(1)4.1×{10}^{-7} $；
$(2)9$；
$(3)\begin{cases}3x+y=3 \\ 4x-y=11\end{cases} $；
$(4)-1$；
$(5)±10 $；
$(6)a/\!/b$；
$(7)3.8$；
$(8)x\neq 2 $；
$(9)35^{\circ}$；
$(10)-3$．

解析

  1. 科学记数法：将小数点移动到第一个非零数字后，记录移动的位数，确定指数符号。
  2. 幂的运算：利用幂的乘方性质，将指数相乘后代入已知条件。
  3. 二元一次方程组：构造两个方程，确保解满足，可通过系数不同或自由设计。
  4. 代数式求值：通过已知条件变形，代入消元求解。
  5. 完全平方式：根据平方公式结构，确定中间项系数。
  6. 平行线判定：通过同位角或同旁内角关系判断直线平行。
  7. 立体展开图：将楼梯展开为矩形，地毯长度为高与水平距离之和。
  8. 零指数幂：底数不为零的条件。
  9. 角度计算：利用邻补角、对顶角或平行线性质。
  10. 参数消去法：联立参数表达式消去参数，得到方程形式。

(1) 科学记数法表示 $0.00000041$

确定有效数字与指数

将 $0.00000041$ 的小数点向右移动 $7$ 位，得到 $4.1$，指数为 $-7$，故表示为 $4.1 \times 10^{-7}$。

(2) 求 $(a^2)^x$ 的值

应用幂的乘方性质

$(a^2)^x = a^{2x} = (a^x)^2 = 3^2 = 9.$

(3) 构造二元一次方程组

设计两个独立方程

取 $x=2$，$y=-3$，构造：

  1. $3x + y = 3 \times 2 + (-3) = 3$；
  2. $4x - y = 4 \times 2 - (-3) = 11$。

(4) 代数式求值

代入已知条件

由 $y - 2x = 1$ 得 $y = 2x + 1$，代入 $6x - 3y + 2$：
$6x - 3(2x + 1) + 2 = 6x - 6x - 3 + 2 = -1.$

(5) 完全平方式的系数

展开平方公式

$x^2 + mx + 25 = (x \pm 5)^2$，展开得 $m = \pm 10$。

(6) 平行线判定

计算同位角

$\angle 1 = 50^\circ$，$\angle 2 = 130^\circ$，同位角相等，故 $a \parallel b$。

(7) 地毯长度计算

展开楼梯为矩形

地毯长度为高 $1$ 米与水平距离 $2.8$ 米之和，即 $1 + 2.8 = 3.8$ 米。

(8) 零指数幂条件

底数非零

$(x-2)^0 = 1$ 要求 $x - 2 \neq 0$，即 $x \neq 2$。

(9) 角度计算

利用邻补角与对顶角

$\angle ADE = 145^\circ$，邻补角为 $35^\circ$，对顶角 $\angle DBC = 35^\circ$。

(10) 参数消去法

联立消去参数 $n$

由 $x = 2n$ 和 $y = n + 1$，消去 $n$ 得 $x = 2(y - 1)$，即 $x - 2y = -2$，故 $b = -2$，$c = -2$，$1 + b + c = -3$。